É proibido o uso de calculadora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Determine , em que e é a semi-circunferência dada por , com , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde . A curva é uma semi-circunferência definida por com , e ela está orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de campo vetorial e verificar se o campo é conservativo, o que pode facilitar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma integral de linha de um campo vetorial. Basicamente, isso calcula o trabalho realizado pelo campo ao longo da curva . A fórmula geral para isso é:
onde .
Passo 3
Agora, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma condição para isso em duas dimensões é que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando :
Calculando :
Vemos que , então o campo não é conservativo.
Passo 5
Como o campo não é conservativo, não podemos usar uma função potencial para simplificar a integral. Então, vamos parametrizar a curva e calcular a integral diretamente. A curva é uma semi-circunferência de raio 2 () com , orientada anti-horário.
Passo 6
Vamos parametrizar usando o ângulo no círculo trigonométrico. Assim:
Como , varia de a . O diferencial será:
Passo 7
Substituindo e na função :
Passo 8
Agora, vamos montar a integral:
Vamos simplificar os termos:
Passo 9
Vamos separar a integral em três partes:
Cada uma dessas integrais será resolvida individualmente.
Passo 10
Primeira integral:
Fazendo uma substituição , então . Quando , , e quando , .