É proibido o uso de calculadora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Determine integralC F d gamma, em que F(x, y)=(e^x-x^2 y, e^y+x y^2) e C é a semi-circunferência dada por x^2+y^2=4, com y >= 0, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F , dgamma, onde F(x, y) = (e^x - x^2y, e^y + x y^2). A curva C é uma semi-circunferência definida por x^2 + y^2 = 4 com y >= 0, e ela está orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de campo vetorial e verificar se o campo F é conservativo, o que pode facilitar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma integral de linha de um campo vetorial. Basicamente, isso calcula o trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva C. A fórmula geral para isso é:
integralC F , dgamma = integralC P , dx + Q , dy
onde F = (P, Q).

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi. Uma condição para isso em duas dimensões é que:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando partial Ppartial y:
P = e^x - x^2 y implies partial Ppartial y = -x^2
Calculando partial Qpartial x:
Q = e^y + x y^2 implies partial Qpartial x = y^2
Vemos que partial Ppartial y = -x^2 neq y^2 = partial Qpartial x, então o campo F não é conservativo.

Passo 5

Como o campo não é conservativo, não podemos usar uma função potencial para simplificar a integral. Então, vamos parametrizar a curva C e calcular a integral diretamente. A curva C é uma semi-circunferência de raio 2 ( x^2 + y^2 = 4) com y >= 0, orientada anti-horário.

Passo 6

Vamos parametrizar C usando o ângulo theta no círculo trigonométrico. Assim:
x = 2 cos theta
y = 2 sin theta
Como y >= 0, theta varia de 0 a pi. O diferencial dgamma será:
dx = -2 sin theta , dtheta
dy = 2 cos theta , dtheta

Passo 7

Substituindo x e y na função F:
F(x, y) = (e^2 cos theta - (2 cos theta)^2 cdot 2 sin theta, e^2 sin theta + 2 cos theta cdot (2 sin theta)^2)
= (e^2 cos theta - 4 cos^2 theta cdot 2 sin theta, e^2 sin theta + 2 cos theta cdot 4 sin^2 theta)
= (e^2 cos theta - 8 cos^2 theta sin theta, e^2 sin theta + 8 cos theta sin^2 theta)

Passo 8

Agora, vamos montar a integral:
integralC F , dgamma = integral0^pi [ (e^2 cos theta - 8 cos^2 theta sin theta) (-2 sin theta) + (e^2 sin theta + 8 cos theta sin^2 theta) (2 cos theta) ] dtheta
Vamos simplificar os termos:
= integral0^pi ( -2 e^2 cos theta sin theta + 16 cos^2 theta sin^2 theta + 2 e^2 sin theta cos theta + 16 cos^2 theta sin^2 theta ) dtheta
= integral0^pi ( -2 e^2 cos theta sin theta + 2 e^2 sin theta cos theta + 32 cos^2 theta sin^2 theta ) dtheta

Passo 9

Vamos separar a integral em três partes:
I = -2 integral0^pi e^2 cos theta sin theta , dtheta + 2 integral0^pi e^2 sin theta cos theta , dtheta + 32 integral0^pi cos^2 theta sin^2 theta , dtheta
Cada uma dessas integrais será resolvida individualmente.

Passo 10

Primeira integral:
I1 = -2 integral0^pi e^2 cos theta sin theta , dtheta
Fazendo uma substituição u = 2 cos theta, então du = -2 sin theta , dtheta. Quando theta = 0, u = 2, e quando theta = pi, u = -2.
Substituindo:
I1 = -2 cdot ( -12 integral2^-2 e^u , du ) = integral-2^2 e^u , du = e^2 - e^-2

Passo 11

Segunda integral:
I2 = 2 integral0^pi e^2 sin theta cos theta , dtheta
Fazendo uma substituição v = 2 sin theta, então dv = 2 cos theta , dtheta.
Substituindo:
I2 = integral0^pi e^v , dv = e^v gr|0^pi = e^2 - e^0 = e^2 - 1

Passo 12

Terceira integral:
I3 = 32 integral0^pi cos^2 theta sin^2 theta , dtheta
Usando identidades trigonométricas, sabemos que:
cos^2 theta sin^2 theta = 14 sin^2 2theta = 14 cdot 1 - cos 4theta2 = 18 (1 - cos 4theta)
Então:
I3 = 32 cdot 18 integral0^pi (1 - cos 4theta) , dtheta = 4 [ theta - sin 4theta4 ]0^pi = 4 (pi - 0) = 4pi

Passo 13

Agora, somando todas as integrais:
I = I1 + I2 + I3 = (e^2 - e^-2) + (e^2 - 1) + 4pi = 2e^2 - e^-2 - 1 + 4pi

Resposta

A integral integralC F , dgamma vale 2 e^2 - e^-2 - 1 + 4pi.

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