É proibido o uso de calculadora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Determine
, em que
e
é a curva de interseção do plano
com o cilindro
, em que
está orientada positivamente.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. A curva
é definida como a interseção entre o plano
e o cilindro
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais tridimensionais, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre parametrização de curvas e, possivelmente, o Teorema de Stokes para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Ela é a interseção entre um plano e um cilindro circular. O cilindro
é um cilindro circular com raio 4, e o plano
corta esse cilindro formando uma curva fechada.
Passo 3
Para calcular a integral de linha
, podemos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada à integral de superfície do rotacional desse campo vetorial sobre uma superfície limitada por
. Isso simplifica nosso cálculo, especialmente se for mais fácil calcular o rotacional do campo e integrar sobre uma superfície plana.
Passo 4
Vamos recordar o Teorema de Stokes:
Aqui,
é o rotacional de
,
é o vetor normal à superfície
, e
é o elemento de área.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
:
O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 6
Agora, vamos parametrizar a superfície
que está limitada pela curva
. Como
está no plano
e o cilindro
, podemos escolher
como a parte do plano delimitada pelo cilindro.
Para parametrizar o plano, podemos resolver a equação do plano para
:
Passo 7
Precisamos encontrar o vetor normal à superfície
. Como
está no plano
, o vetor normal ao plano é $ \vec{n} = (3, 1, 1) $.
No entanto, para o Teorema de Stokes, o vetor normal deve ser unitário e orientado de acordo com a orientação positiva de
. Vamos normalizar
:
Então,
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 9
A integral de superfície fica então:
Como
na curva
, e considerando que a superfície
é a parte do plano delimitada pelo cilindro,
varia de
a
na superfície.
Passo 10
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região de integração é circular. Em coordenadas polares:
O elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 11
Substituindo na integral:
Os limites de integração para
são de
a
(já que
), e para
de
a
.
Passo 12
Calculando a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral
é igual a
.