É proibido o uso de calculadora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Determine ointC F d gamma, em que F(x, y, z)=(x^2 z+sen x, x y^2+cos y, z^2+e^z) e C é a curva de interseção do plano 3 x+y+z=5 com o cilindro x^2+y^2=16, em que C está orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y, z) ao longo de uma curva C. A curva C é definida como a interseção entre o plano 3x + y + z = 5 e o cilindro x^2 + y^2 = 16. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais tridimensionais, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre parametrização de curvas e, possivelmente, o Teorema de Stokes para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva C. Ela é a interseção entre um plano e um cilindro circular. O cilindro x^2 + y^2 = 16 é um cilindro circular com raio 4, e o plano 3x + y + z = 5 corta esse cilindro formando uma curva fechada.

Passo 3

Para calcular a integral de linha ointC F cdot dgamma, podemos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada à integral de superfície do rotacional desse campo vetorial sobre uma superfície limitada por C. Isso simplifica nosso cálculo, especialmente se for mais fácil calcular o rotacional do campo e integrar sobre uma superfície plana.

Passo 4

Vamos recordar o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dgamma = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, nabla times F é o rotacional de F, n é o vetor normal à superfície S, e dS é o elemento de área.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F:
F(x, y, z) = (x^2 z + sin x, x y^2 + cos y, z^2 + e^z)
O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. partial F3partial y = partialpartial y(z^2 + e^z) = 0
  2. partial F2partial z = partialpartial z(x y^2 + cos y) = 0
  3. partial F1partial z = partialpartial z(x^2 z + sin x) = x^2
  4. partial F3partial x = partialpartial x(z^2 + e^z) = 0
  5. partial F2partial x = partialpartial x(x y^2 + cos y) = y^2
  6. partial F1partial y = partialpartial y(x^2 z + sin x) = 0
Então,
nabla times F = (0 - 0, x^2 - 0, y^2 - 0) = (0, x^2, y^2)

Passo 6

Agora, vamos parametrizar a superfície S que está limitada pela curva C. Como C está no plano 3x + y + z = 5 e o cilindro x^2 + y^2 = 16, podemos escolher S como a parte do plano delimitada pelo cilindro.
Para parametrizar o plano, podemos resolver a equação do plano para z:
z = 5 - 3x - y

Passo 7

Precisamos encontrar o vetor normal à superfície S. Como S está no plano 3x + y + z = 5, o vetor normal ao plano é $ \vec{n} = (3, 1, 1) $.
No entanto, para o Teorema de Stokes, o vetor normal deve ser unitário e orientado de acordo com a orientação positiva de n = (3, 1, 1) . Vamos normalizar C:
n
Então,
|n| = raiz3^2 + 1^2 + 1^2 = raiz11

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(nabla times F) cdot n = (0, x^2, y^2) cdot ( 3raiz11, 1raiz11, 1raiz11 ) = 0 cdot 3raiz11 + x^2 cdot 1raiz11 + y^2 cdot 1raiz11 = x^2 + y^2raiz11

Passo 9

A integral de superfície fica então:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS x^2 + y^2raiz11 , dS
Como x^2 + y^2 = 16 na curva C, e considerando que a superfície S é a parte do plano delimitada pelo cilindro, x^2 + y^2 varia de 0 a 16 na superfície.

Passo 10

Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região de integração é circular. Em coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, x^2 + y^2 = r^2
O elemento de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta.

Passo 11

Substituindo na integral:
integral duplaS r^2raiz11 cdot r , dr , dtheta = 1raiz11 integral duplaS r^3 , dr , dtheta
Os limites de integração para r são de 0 a 4 (já que x^2 + y^2 = 16 Rightarrow r = 4), e para theta de 0 a 2pi.

Passo 12

Calculando a integral:
1raiz11 integral0^2pi integral0^4 r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^4 r^3 , dr = [ r^44 ]0^4 = 4^44 - 0 = 2564 = 64
Agora, integramos em relação a theta:
1raiz11 cdot 64 integral0^2pi dtheta = 64raiz11 cdot 2pi = 128piraiz11

Resposta

A integral ointC F cdot dgamma é igual a 128piraiz11.

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