- É proibido o uso de calculadora.
- Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Determine a área do toro parametrizado por
em que
são números reais positivos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da superfície do toro dado por σ(u,v) = (cos u (R + r cos v), sen u (R + r cos v), r sen v) para u∈[0,2π], v∈[0,2π]. O conteúdo aqui é área de superfície em parametrizações, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de σ, o produto vetorial e depois integrar o módulo desse produto vetorial sobre o domínio.
Passo 2
Para achar a área, primeiro calculamos as derivadas parciais. Temos
Passo 3
Depois, usamos o produto vetorial para obter o vetor normal. Um cálculo direto mostra que o módulo desse produto é
Isso decorre de propriedades de produto vetorial em coordenadas circulares.
Passo 4
Agora integramos o módulo sobre o retângulo [0,2π]×[0,2π]:
$$A = \int_0{2π}\int_0{2π} r,(R + r\cos v),dv,du.
$$
pois . Em seguida a integral em u contribui com outro fator
.
pois
Passo 5
Combinando tudo, concluímos que a área do toro é
Resposta
4\pi^2 R r