• É proibido o uso de calculadora.
  • Respostas sem justificativa não serão consideradas.
    (1,0) Determine a área do toro parametrizado por
sigma(u, v)=(cos u(R+r cos v), sen u(R+r cos v), r sen v),
em que R>r são números reais positivos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície do toro dado por σ(u,v) = (cos u (R + r cos v), sen u (R + r cos v), r sen v) para u∈[0,2π], v∈[0,2π]. O conteúdo aqui é área de superfície em parametrizações, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de σ, o produto vetorial e depois integrar o módulo desse produto vetorial sobre o domínio.

Passo 2

Para achar a área, primeiro calculamos as derivadas parciais. Temos
σu = l(- (R + rcos v)sin u,;(R + rcos v)cos u,;0r),
σv = l(- rsin vcos u,;- rsin vsin u,;rcos vr)

Passo 3

Depois, usamos o produto vetorial para obter o vetor normal. Um cálculo direto mostra que o módulo desse produto é
|σu times σv| = r,(R + rcos v)
Isso decorre de propriedades de produto vetorial em coordenadas circulares.

Passo 4

Agora integramos o módulo sobre o retângulo [0,2π]×[0,2π]:
$$A = \int_0{2π}\int_0{2π} r,(R + r\cos v),dv,du.
A = integral0^2πintegral0^2π r,(R + rcos v),dv,du á\int_0^{2π}(rR + r^2\cos v),dv = 2π rR + r2\int_0{2π}\cos v,dv = 2π rR,
$$
pois integral0^2π(rR + r^2cos v),dv = 2π rR + r^2integral0^2πcos v,dv = 2π rR, . Em seguida a integral em u contribui com outro fator integral0^2πcos v,dv=0.

Passo 5

Combinando tudo, concluímos que a área do toro é
A = (2π)(2π rR) = 4π^2 R r

Resposta

4\pi^2 R r

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