Encontre o limite. Use a Regra de LHôpital quando for apropriado.
lim x 0 1x-csc (x);

Passo 1

Temos o limite limxto0l(tfrac1x - csc xr). Esse é um caso de forma infty - infty, onde vamos precisar combinar em uma única fração e depois usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Reescrevendo em uma única fração:
1x - 1sin x = sin x - xx,sin x

Passo 3

Ao substituir xto0 vemos que sin x - xto0 e xsin xto0, ou seja, temos a forma indeterminada 0/0, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Derivando numerador e denominador uma vez:
numerador: ddx(sin x - x)=cos x -1,
denominador: ddx(xsin x)=sin x + xcos x.
O limite vira
limxto0cos x - 1sin x + xcos x

Passo 5

Substituindo x=0 ainda obtém 0/0, então aplicamos L’Hôpital de novo.

Passo 6

Derivando outra vez:
numerador: ddx(cos x -1)= -sin x,
denominador: ddx(sin x + xcos x)=cos x + cos x - xsin x =2cos x - xsin x.
O limite final é
limxto0-sin x2cos x - xsin x = -sin02cos0 - 0 = 0

Resposta

0

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