A projeção de um ponto sobre uma reta é o pé da perpendicular traçada do ponto à reta, ou seja, o ponto que essa perpendicular cruza a reta. Encontre as coordenadas da projeção do ponto (x, y) :
sobre o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do ponto (x,y) sobre o eixo x. Em geometria analítica, isso significa encontrar o pé da perpendicular traçada de (x,y) até a reta que define o eixo x.

Passo 2

O eixo x é a reta dada por
(u,v)mid v=0
Qualquer ponto da forma (u,0) está sobre esse eixo. Para achar a projeção, basta escolher u de modo a minimizar a distância de (x,y) até (u,0).

Passo 3

A distância ao quadrado entre (x,y) e (u,0) é
D(u) = (x - u)^2 + (y - 0)^2 = (x - u)^2 + y^2
Derivando em relação a u e igualando a zero:
D'(u) = -2(x - u) = 0 Longrightarrow u = x

Passo 4

Com u = x, o pé da perpendicular fica em (x,0), que é exatamente a projeção de (x,y) no eixo x.

Resposta

(x,0)

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