A é semelhante sobre o corpo dos números reais a uma matriz triangular? Em caso afirmativo, determinar uma tal matriz triangular.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A= 0 & 1 & 0 2 & -2 & 2 2 & -3 & 2
e pergunta se A é semelhante sobre R a uma matriz triangular. Para isso vamos usar teoria de triangularização: primeiro obtemos o polinômio característico, depois vemos que ele se decompõe em fatores lineares e identificamos o polinômio mínimo para concluir a forma de Jordan (nilpotente) de A.
Como p(lambda)=lambda^3, a única raiz é lambda=0 com multiplicidade algébrica 3. Logo A é nilpotente e todos os fatores do polinômio característico são lineares em R, o que garante que A é triangularizável sobre R.
Passo 4
Para saber a forma de Jordan precisamos do polinômio mínimo. Calculamos A^2 e A^3:
A^2= 2 & -2 & 2 0 & 0 & 0 -2 & 2 & -2 , A^3=0
Como A^2neq0 e A^3=0, o polinômio mínimo é mu(lambda)=lambda^3. Isso indica um único bloco de Jordan de tamanho 3 em lambda=0.
Passo 5
O bloco de Jordan nilpotente de tamanho 3 é justamente a matriz triangular
J3(0) = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Portanto, existe uma matriz invertível P real tal que