Seja
A=[ccc 0 & 1 & 0 2 & -2 & 2 2 & -3 & 2 ]
A é semelhante sobre o corpo dos números reais a uma matriz triangular? Em caso afirmativo, determinar uma tal matriz triangular.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 0 & 1 & 0 2 & -2 & 2 2 & -3 & 2
e pergunta se A é semelhante sobre R a uma matriz triangular. Para isso vamos usar teoria de triangularização: primeiro obtemos o polinômio característico, depois vemos que ele se decompõe em fatores lineares e identificamos o polinômio mínimo para concluir a forma de Jordan (nilpotente) de A.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A, isto é
p(lambda)=det(A-lambda I) =det -lambda & 1 & 0 2 & -2-lambda & 2 2 & -3 & 2-lambda
Desenvolvendo pela primeira linha:
p(lambda) =(-lambda)l[(-2-lambda)(2-lambda)-2(-3)r] -1l[2(2-lambda)-2cdot2r]
Calcula-se
(-2-lambda)(2-lambda)=lambda^2-4, lambda^2-4+6=lambda^2+2,
logo o primeiro termo é -lambda(lambda^2+2)=-lambda^3-2lambda.
O segundo termo é -1cdot(-2lambda)=2lambda.
Somando dá
p(lambda)=-lambda^3-2lambda+2lambda=-lambda^3,
ou seja
p(lambda)= -lambda^3Longrightarrow p(lambda)=lambda^3

Passo 3

Como p(lambda)=lambda^3, a única raiz é lambda=0 com multiplicidade algébrica 3. Logo A é nilpotente e todos os fatores do polinômio característico são lineares em R, o que garante que A é triangularizável sobre R.

Passo 4

Para saber a forma de Jordan precisamos do polinômio mínimo. Calculamos A^2 e A^3:
A^2= 2 & -2 & 2 0 & 0 & 0 -2 & 2 & -2 , A^3=0
Como A^2neq0 e A^3=0, o polinômio mínimo é mu(lambda)=lambda^3. Isso indica um único bloco de Jordan de tamanho 3 em lambda=0.

Passo 5

O bloco de Jordan nilpotente de tamanho 3 é justamente a matriz triangular
J3(0) = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Portanto, existe uma matriz invertível P real tal que
P^-1AP =J3(0),
que é uma matriz triangular de forma desejada.

Resposta

Uma matriz triangular semelhante a A sobre R é
0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

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