Seja
um valor característico de
e seja
o espaço dos vetores característicos associado ao valor característico
. Qual o operador
?
Passo 1
O enunciado apresenta um operador linear
, um valor característico (autovalor)
de
e o espaço próprio (eigenspace)
Pergunta-se qual é o operador
associado a
. Vamos usar a definição de operador restrito e a propriedade de autovalor.
Passo 2
Definição: o operador restrito
é simplesmente a restrição de
a
. Em outras palavras,
Passo 3
Verificação de que
está bem-definido em
. Se
, então por definição de espaço próprio
logo
permanece em
e faz sentido falar em
.
Passo 4
Como para todo
vale
, segue que
Isto significa que
atua em
como multiplicação escalar por
, ou seja, é
vezes o operador identidade em
.
Resposta
O operador
é a restrição de
a
, dado por
para todo
; equivalentemente,