Seja c um valor característico de T e seja W o espaço dos vetores característicos associado ao valor característico c. Qual o operador TW ?

Passo 1

O enunciado apresenta um operador linear T:Vto V, um valor característico (autovalor) c de T e o espaço próprio (eigenspace)
W = ,vin V mid T(v)=c,v
Pergunta-se qual é o operador TW associado a W. Vamos usar a definição de operador restrito e a propriedade de autovalor.

Passo 2

Definição: o operador restrito TW é simplesmente a restrição de T a W. Em outras palavras,
TW:Wlongrightarrow W, TW(w)=T(w)forall,win W

Passo 3

Verificação de que TW está bem-definido em W. Se win W, então por definição de espaço próprio
T(w)=c,win W,
logo T(w) permanece em W e faz sentido falar em TW(w).

Passo 4

Como para todo win W vale T(w)=c,w, segue que
TW(w)=c,w
Isto significa que TW atua em W como multiplicação escalar por c, ou seja, é c vezes o operador identidade em W.

Resposta

O operador TW é a restrição de T a W, dado por
TW(w)=c,w
para todo win W; equivalentemente,
TW=c,IW

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