Determine se os limites abaixo existem, justificando:
lim (x, y) (0,0) x^3-x^2 y+x y^2-y^3x^3+y^3

Passo 1

A questão pede para determinar se o limite
Primeiro passo: resumindo o enunciado e o conteúdo a estudar. Estamos diante do limite de uma função de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^3 - x^2y + xy^2 - y^3x^3 + y^3
O conteúdo é limites de funções de várias variáveis e precisamos verificar existência, usando fatoração de polinômios e exame de caminhos.

Passo 2

Segundo passo: fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão.
x^3 - x^2y + xy^2 - y^3 = (x-y)(x^2 + y^2),
x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)
Logo,
x^3 - x^2y + xy^2 - y^3x^3 + y^3 = x-yx+y cdot x^2 + y^2x^2 - xy + y^2

Passo 3

Terceiro passo: examinar caminhos distintos para ver se o limite depende da direção.
Para a reta y=0:
$ \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{x^2 + y2}{x2 - xy + y^2} = \frac{x}{x} \cdot \frac{x2}{x2} = 1. $
Para a reta x-yx+y cdot x^2 + y^2x^2 - xy + y^2 = xx cdot x^2x^2 = 1 :
$ \frac{x-x}{x+x} \cdot \frac{2x2}{x2 - x^2 + x^2} = 0 \cdot \frac{2x2}{x2} = 0. $

Passo 4

Quarto passo: como obtemos valores diferentes (1 e 0) conforme o caminho de aproximação, o limite não pode ter um único valor. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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