Seja F(t) uma força dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t1 e t2. Supondo F integrável integrável em [t1, t2], o vetor
I=integralt1^t2 F(t) d t
denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de F no intervalo de tempo dado.
3a) F(t)=t i+j+t^2 k, t1=0 e t2=2.
3b) F(t)=1t+1 i+t^2 j+k, t1=0 e t2=1.

Passo 1

Nesse exercício nosso objetivo é calcular o impulso definido por
I=integralt1^t2F(t),dt
para duas forças vetoriais dadas em intervalos específicos. O conteúdo envolve integração de funções vetoriais, feita componente a componente usando integrais definidas.

Passo 2

A teoria que vamos usar diz que, se
F(t)=Fx(t)i+Fy(t)j+Fz(t)k,
o impulso é
I=integralt1^t2Fx(t),dt,i+integralt1^t2Fy(t),dt,j+integralt1^t2Fz(t),dt,k
Ou seja, basta integrar cada componente separadamente no intervalo dado.

Passo 3

Para a parte (a), temos
Fx(t)=t, Fy(t)=1, Fz(t)=t^2,
com t1=0 e t2=2. Vamos calcular cada integral:

Passo 4

Integrais para a parte (a):
integral0^2 t,dt=[t^22]0^2=2, integral0^2 1,dt=[t]0^2=2, integral0^2 t^2,dt=[t^33]0^2=83
Logo, o impulso é
Ia=2i+2j+83k

Passo 5

Para a parte (b), temos
Fx(t)=1t+1, Fy(t)=t^2, Fz(t)=1,
com t1=0 e t2=1. Calculamos as integrais:

Passo 6

Integrais para a parte (b):
integral0^1 1t+1,dt=l[ln(t+1)r]0^1=ln(2), integral0^1 t^2,dt=[t^33]0^1=13, integral0^1 1,dt=[t]0^1=1
Logo, o impulso é
Ib=ln(2)i+13j+1k

Resposta

As respostas são
Ia=2i+2j+tfrac83k, Ib=ln(2)i+tfrac13j+k

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