Um projéctil é lançado sobre um plano inclinado (ângulo de inclinação $ \phi$ ) com uma velocidade inicial phi a um ângulo v0 em relação à horizontal theta0.
Mostre que o projéctil percorre uma distância d ao longo do plano inclinado, onde
d=2 v0^2 cos theta0 sin (theta0-phi)g cos ^2 phi

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente lança um projéctil num plano que está inclinado de um ângulo φ em relação à horizontal, com velocidade inicial num ângulo (onde ). O objetivo é achar a distância que o projéctil percorre ao longo do plano até atingir de novo a superfície inclinada.
Conteúdo: Cinemática de projéctil + geometria do plano inclinado. Vamos usar as equações de e no referencial horizontal/vertical e a reta do plano . Depois achamos o tempo de voo e projetamos isso na direção do plano.

Passo 2

Escrevendo as posições em função do tempo (origem no ponto de lançamento, eixos x(t) = v0costheta0;t, y(t) = v0sintheta0;t - tfrac12,g,t^2 horizontal, y(t) = x(t),tanphi vertical para cima):
A condição de impacto no plano é

Passo 3

Substituindo v0sintheta0,t - tfrac12>^2 ;=; v0costheta0,t;tanphi e -tfrac12g,t + v0l(sintheta0 - costheta0tanphir) = 0 ;Longrightarrow; t = 2,v0l(sintheta0 - costheta0tanphir)g na equação do plano:
sintheta0 - costheta0tanphi = sintheta0cosphi - costheta0sinphicosphi = sin(theta0 - phi)cosphi
Reorganizando (tirando fator t = 2,v0g;sin(theta0 - phi)cosphi ):
Agora note que
Então o tempo de voo vira

Passo 4

A distância ao longo do plano é o comprimento do vetor d = x(t)cosphi até o ponto de impacto, mas como d = v0costheta0cosphi;times; 2,v0sin(theta0 - phi)g,cosphi = 2,v0^2costheta0,sin(theta0 - phi)g,cos^2phi , a hipotenusa vale
E . Logo

Resposta

boxedd = 2,v0^2,costheta0,sinl(theta0-phir)g,cos^2phi

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