A projectile enters a resisting medium at x=0 with an initial velocity v_{0}=900 \mathrm{ft} / \mathrm{s} and travels 4 in . before coming to rest. Assuming that the velocity of the projectile is defined by the relation v=v_{0}-k x, where v is expressed in \mathrm{ft} / \mathrm{s} and x is in feet, determine (a) the initial acceleration of the projectile, ( b ) the time required for the projectile to penetrate 3.9 in . into the resisting medium.

Passo 1

O enunciado dá que a velocidade do projétil ao penetrar no meio resistente varia com a profundidade x segundo
v(x)=v_{0}-k\,x
com v_{0}=900 ft/s e que v=0 quando x=4 in. (isto é, x=\tfrac{4}{12} ft). Vamos determinar (a) a aceleração inicial e (b) o tempo até x=3,9 in. ( =3,9/12 ft), usando conceitos de aceleração como a=dv/dt e integração de dx/dt=v(x).

Passo 2

Como o projétil para em x_{\text{parada}}=\tfrac{4}{12} ft temos
0=v_{0}-k\,x_{\text{parada}} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{v_{0}}{x_{\text{parada}}} =\frac{900}{4/12} =2700\;\text{s}^{-1}.

Passo 3

A aceleração é
a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt} =-k\;v(x).
No instante inicial x=0, v=v_{0}, logo
a(0)=-k\,v_{0}=-2700\times900=-2{,}430{,}000\;\text{ft/s}^2.

Passo 4

Para achar o tempo t até uma profundidade x usamos
\frac{dx}{dt}=v_{0}-k\,x \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{t}dt =\int_{0}^{x}\frac{dx}{v_{0}-k\,x}
o que leva a
t =\frac{1}{k}\ln\!\biggl(\frac{v_{0}}{\,v_{0}-k\,x\,}\biggr).

Passo 5

Para x=3,9 in. =3,9/12 ft a conta é
k\,x=2700\times\frac{3,9}{12}=877{,}5, \quad v_{0}-k\,x=900-877{,}5=22{,}5,
t=\frac{1}{2700}\ln\!\Bigl(\frac{900}{22{,}5}\Bigr) =\frac{1}{2700}\ln(40)\approx1{,}37\times10^{-3}\;\text{s}.

Resposta

(a) -2{,}430{,}000 ft/s ^2
(b) 1,37\times10^{-3} s

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