Para projetar um relógio de pêndulo com um pêndulo simples para a feira de ciências, um estudante de Física precisa calcular o comprimento do fio do pêndulo para que se tenha um período de 1 s . Considerando a gravidade local como 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e aproximando \pi=3, o comprimento desse pêndulo deverá ser, aproximadamente: (Justifique sua resposta)
a) 10 cm .
b) 15 cm .
c) 23 cm .
d) 28 cm .
e) 33 cm .

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Período desejado: T=1\\ \mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Aproximação: \pi=3.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar o comprimento L do fio do pêndulo simples para que o período seja 1\\ \mathrm{s} e escolher a alternativa correta entre (a)–(e).

Passo 2

Modelo físico e hipótese necessária (explicação didática):
  • Um pêndulo simples é uma massa puntiforme presa a um fio de comprimento L sem massa, oscilando com pequeno ângulo. Para pequenas oscilações usa-se a aproximação \sin\theta\approx\theta (em radianos). Essa aproximação lineariza a equação do movimento.
  • Equação do movimento (derivação curta e intuitiva):
    • O torque restaurador em relação ao ponto de suspensão é \tau=-mgL\sin\theta.
    • Momento de inércia da massa em relação ao ponto de suspensão é I=mL^{2}.
    • Pela segunda lei rotacional: I\ddot{\theta}=\tau.
    • Aplicando \sin\theta\approx\theta obtemos
    mL^{2}\ddot{\theta}=-mgL\theta.
    • Simplificando m e L:
    \ddot{\theta}+\frac{g}{L}\,\theta=0.
    • Esta é a equação de um movimento harmônico simples com frequência angular \omega=\sqrt{\dfrac{g}{L}} e, portanto, período
    T= \frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Significado das variáveis:
    • T: período (tempo de uma oscilação completa), aqui em segundos.
    • L: comprimento do fio, em metros.
    • g: aceleração da gravidade, em \mathrm{m/s^{2}}.
    • \pi: constante geométrica usada na fórmula; o enunciado pede aproximá‑la por \pi=3.

Passo 3

Isolar L na fórmula do período:
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{\frac{L}{g}}=\frac{T}{2\pi} \quad\Rightarrow\quad L=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}.

Passo 4

Substituir os valores dados ( T=1\\ \mathrm{s}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, \pi=3):
  • Primeiro calcule 2\pi: 2\pi=2\cdot 3=6.
  • Então \dfrac{T}{2\pi}=\dfrac{1}{6}.
  • Elevar ao quadrado: \left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}.
  • Multiplicar por g: L=10\cdot\frac{1}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter para centímetros e arredondar para comparar com as alternativas:
\frac{5}{18}\\ \mathrm{m}=0{,}2777\ldots\\ \mathrm{m}=27{,}78\ldots\\ \mathrm{cm}\approx 28\\ \mathrm{cm}.
Entre as alternativas dadas, a mais próxima é a letra (d).

Resposta

(d) 28\\ \mathrm{cm}

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