Projete um filtro FIR passa-faixa de 5 pontos com uma frequência da corte inferior de 1.600 Hz e frequência de corte superior de 1.800 Hz e uma taxa de amostragem de 8.000 Hz usando:
a) Função de janela Retangular;

Passo 1

O enunciado pede o projeto de um filtro FIR passa-faixa de 5 coeficientes ( N=5) com frequência de corte inferior de 1 600 Hz e superior de 1 800 Hz, taxa de amostragem F_s=8\,000 Hz, usando janela retangular. Vamos usar o método da resposta ao impulso ideal truncada pela janela, ou seja,
– calcular a resposta ao impulso ideal h_d[n] de um passa-faixa de ordem M=4 (comprimento N=M+1=5),
– e aplicar a janela retangular (que equivale a não alterar h_d[n]).

Passo 2

Determinamos as frequências normalizadas (em rad/s amostrados):
\Omega_1 = 2\pi \frac{1\,600}{8\,000} = 0{,}4\pi, \quad \Omega_2 = 2\pi \frac{1\,800}{8\,000} = 0{,}45\pi.
O índice central é M/2 = 2.

Passo 3

A fórmula geral da resposta ao impulso ideal de um filtro passa-faixa de ordem M é, para n\neq M/2,
h_d[n] = \frac{\sin\bigl(\Omega_2(n-\tfrac{M}{2})\bigr)-\sin\bigl(\Omega_1(n-\tfrac{M}{2})\bigr)} {\pi\,(n-\tfrac{M}{2})},
e no ponto central n=M/2:
h_d\bigl[\tfrac{M}{2}\bigr] =\frac{\Omega_2-\Omega_1}{\pi}.

Passo 4

Calculamos h_d[n] para n=0,1,2,3,4:
Para n=2 (caso central):
h_d[2] =\frac{\Omega_2-\Omega_1}{\pi} =\frac{0{,}45\pi - 0{,}4\pi}{\pi} =0{,}05.
Para n=1 e n=3 ( k=n-2=\pm1):
h_d[1]=h_d[3] =\frac{\sin(\Omega_2\cdot(-1))-\sin(\Omega_1\cdot(-1))}{\pi\,(-1)} =\frac{\sin\Omega_2-\sin\Omega_1}{\pi} \approx\frac{0{,}9877-0{,}9511}{3{,}1416} \approx0{,}01166.
Para n=0 e n=4 ( k=n-2=\pm2):
h_d[0]=h_d[4] =\frac{\sin(\Omega_2\cdot(-2))-\sin(\Omega_1\cdot(-2))}{\pi\,(-2)} =\frac{\sin(2\Omega_2)-\sin(2\Omega_1)}{2\pi} \approx\frac{0{,}3090 - 0{,}5878}{6{,}2832} \approx -0{,}0444.

Passo 5

Como usamos janela retangular, o filtro final h[n] é igual a h_d[n]. Assim, os coeficientes são:

Resposta

h[0] = -0{,}0444
h[1] = 0{,}01166
h[2] = 0{,}05
h[3] = 0{,}01166
h[4] = -0{,}0444

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