Projete um filtro FIR passa-faixa de 5 pontos com uma frequência da corte inferior de 1.600 Hz e frequência de corte superior de 1.800 Hz e uma taxa de amostragem de 8.000 Hz usando:
b) Função de janela Hamming;
Determine a função de transferência e a equação diferencial para os 2 casos do sistema FIR projetado. Compute e plote a magnitude da resposta em frequência para \Omega=0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4} e \pi radianos.

Passo 1

O enunciado pede o projeto de um filtro FIR passa-faixa de comprimento M=5 pontos, com frequências de corte inferior f_{c1}=1600,Hz e superior f_{c2}=1800,Hz, taxa de amostragem f_s=8000,Hz, usando a janela de Hamming. Vamos usar o método de janela:
1. calcular o impulso ideal h_d[n] de um passa-faixa centrado em n_0=(M-1)/2=2;
2. multiplicar por w[n], a janela de Hamming de comprimento 5;
3. obter h[n], escrever H(z) e a equação a diferenças;
4. avaliar \bigl|H(e^{j\Omega})\bigr| em \Omega=0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi.

Passo 2

Normalizamos as frequências:
\Omega_{c1} = 2\pi\frac{1600}{8000} = 0{,}4\pi,\qquad \Omega_{c2} = 2\pi\frac{1800}{8000} = 0{,}45\pi.
O impulso ideal de um passa-faixa de ordem infinita é
h_d[n] = \frac{\sin\bigl(\Omega_{c2}(n-2)\bigr)-\sin\bigl(\Omega_{c1}(n-2)\bigr)} {\pi\,(n-2)},
com o valor central
h_d[2] = \frac{\Omega_{c2}-\Omega_{c1}}{\pi}=0{,}05.
Calculando para n=0,1,2,3,4 obtém-se (aprox.)
h_d = \bigl[-0{,}04435,\;0{,}01165,\;0{,}05,\;0{,}01165,\;-0{,}04435\bigr].

Passo 3

A janela de Hamming de comprimento M=5 é
w[n]=0{,}54 - 0{,}46\cos\!\Bigl(\tfrac{2\pi n}{M-1}\Bigr), \quad n=0,1,2,3,4,
logo
w = \bigl[0{,}08,\;0{,}54,\;1{,}0,\;0{,}54,\;0{,}08\bigr].

Passo 4

O coeficiente final é
h[n]=h_d[n]\;w[n]\quad\Rightarrow\quad h = \bigl[-0{,}00355,\;0{,}00629,\;0{,}05,\;0{,}00629,\;-0{,}00355\bigr].

Passo 5

A função de transferência em z é
H(z)=\sum_{n=0}^{4}h[n]\,z^{-n} =-0{,}00355 -0{,}00629\,z^{-3}-0{,}00355\,z^{-4} +0{,}00629\,z^{-1}+0{,}05\,z^{-2}.
A equação a diferenças (implementação direta) é
y[n]=-0{,}00355\,x[n] +0{,}00629\,x[n-1] +0{,}05\,x[n-2] +0{,}00629\,x[n-3] -0{,}00355\,x[n-4].

Passo 6

O ganho em frequência é
H(e^{j\Omega})=\sum_{n=0}^4 h[n]\,e^{-j\Omega n}.
A magnitude nos pontos pedidos (aprox.) é
\begin{aligned} \Omega=0:&&|H|&\approx0{,}05549,\\\ \Omega=\tfrac{\pi}{4}:&&|H|&\approx0{,}05890,\\\ \Omega=\tfrac{\pi}{2}:&&|H|&\approx0{,}05710,\\\ \Omega=\tfrac{3\pi}{4}:&&|H|&\approx0{,}04110,\\\ \Omega=\pi:&&|H|&\approx0{,}03032. \end{aligned}

Resposta

Função de transferência:
H(z)=-0{,}00355 +0{,}00629\,z^{-1} +0{,}05\,z^{-2} +0{,}00629\,z^{-3} -0{,}00355\,z^{-4}.
Equação a diferenças:
y[n]=-0{,}00355\,x[n] +0{,}00629\,x[n-1] +0{,}05\,x[n-2] +0{,}00629\,x[n-3] -0{,}00355\,x[n-4].
Magnitudes em \Omega=0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi:
0{,}05549,\; 0{,}05890,\; 0{,}05710,\; 0{,}04110,\; 0{,}03032.

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