Projete um filtro FIR passa-alta de 3 pontos com uma frequência da corte de 1.600 Hz e uma taxa de amostragem de 8.000 Hz usando:
c) Função de janela Retangular;
d) Função de janela Hamming;
Determine a função de transferência e a equação diferencial para os 2 casos do sistema FIR projetado. Compute e plote a magnitude da resposta em frequência para \Omega=0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4} e \pi radianos.

Passo 1

O enunciado pede para projetar um filtro FIR passa-alta de três coeficientes (comprimento M=3, ordem N=M-1=2) com frequência de corte em 1{,}6,kHz e taxa de amostragem 8,kHz, usando duas janelas: retangular e Hamming. Vamos encontrar primeiro a resposta ideal do filtro passa-alta de ordem 2, depois aplicar cada janela para obter os coeficientes finais, determinar a função de transferência H(z), a equação em diferenças e, por fim, calcular a magnitude da resposta em frequência nos pontos \Omega=0,\tfrac\pi4,\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}4,\pi.

Passo 2

Calculemos a frequência de corte normalizada
\omega_c = 2\pi \,\frac{f_c}{f_s} =2\pi\cdot\frac{1600}{8000} =0{,}4\pi.
A resposta ao impulso ideal de um filtro passa-alta centrado em n=1\) (ordem \(2\)) é \[h_{hp,\mathrm{ideal}}[n] =\delta[n-1]\,-\,h_{lp,\mathrm{ideal}}[n],
onde
h_{lp,\mathrm{ideal}}[n] =\begin{cases} \dfrac{\sin\bigl(\omega_c\,(n-1)\bigr)}{\pi\,(n-1)},&n\neq1,\\[1em] \dfrac{\omega_c}{\pi},&n=1. \end{cases}
Para n=0,1,2\] isso dá \[h_{hp,\mathrm{ideal}}[0] =-\frac{\sin(0{,}4\pi)}{\pi},\quad h_{hp,\mathrm{ideal}}[1] =1-\frac{0{,}4\pi}{\pi}=0{,}6,\quad h_{hp,\mathrm{ideal}}[2] =-\frac{\sin(0{,}4\pi)}{\pi}.\] Numericamente \(\sin(0{,}4\pi)/\pi\approx0{,}3027, logo
h_{hp,\mathrm{ideal}} =\bigl[-0{,}3027,\;0{,}6,\;-0{,}3027\bigr].]

Passo 3

Aplicando a janela retangular (que vale 1 para todo n), os coeficientes finais são iguais aos ideais:
h_{\mathrm{rect}}[n] = h_{hp,\mathrm{ideal}}[n] =\{-0{,}3027,\;0{,}6,\;-0{,}3027\}.
A função de transferência é
H_{\mathrm{rect}}(z) =\sum_{n=0}^{2}h_{\mathrm{rect}}[n]\,z^{-n} =-0{,}3027+0{,}6\,z^{-1}-0{,}3027\,z^{-2}.
A equação em diferenças correspondente é
y[n] =-0{,}3027\,x[n] +0{,}6\,x[n-1] -0{,}3027\,x[n-2].

Passo 4

Para a janela de Hamming de comprimento 3 temos
w[n]=0{,}54-0{,}46\cos\Bigl(\tfrac{2\pi n}{2}\Bigr), \quad n=0,1,2,
o que dá w[0]=w[2]=0{,}08, w[1]=1. Multiplicando pelos coeficientes ideais:
h_{\mathrm{ham}}[n] =w[n]\;h_{hp,\mathrm{ideal}}[n] =\{-0{,}3027\cdot0{,}08,\;0{,}6\cdot1,\;-0{,}3027\cdot0{,}08\} =\{-0{,}02422,\;0{,}6,\;-0{,}02422\}.
Então
H_{\mathrm{ham}}(z) =-0{,}02422+0{,}6\,z^{-1}-0{,}02422\,z^{-2},
e a equação em diferenças é
y[n] =-0{,}02422\,x[n] +0{,}6\,x[n-1] -0{,}02422\,x[n-2].

Passo 5

A resposta em frequência avaliada em \Omega é
H(e^{j\Omega}) =\sum_{n=0}^{2}h[n]\,e^{-j\Omega n}.
Para o caso retangular nota-se que
H_{\mathrm{rect}}(e^{j\Omega}) =e^{-j\Omega}\bigl(0{,}6-0{,}6054\cos\Omega\bigr),
logo a magnitude é \bigl|0{,}6-0{,}6054\cos\Omega\bigr|.
Para a janela de Hamming
H_{\mathrm{ham}}(e^{j\Omega}) =e^{-j\Omega}\bigl(0{,}6-0{,}04844\cos\Omega\bigr),
magnitude \bigl|0{,}6-0{,}04844\cos\Omega\bigr|.
Calculando em cada ponto:
\begin{array}{c|cc} \Omega & |H_{\mathrm{rect}}| & |H_{\mathrm{ham}}| \\\ \hline 0 &|0{,}6-0{,}6054|=0{,}0054 &|0{,}6-0{,}04844|=0{,}5516\\\ \tfrac\pi4 &|0{,}6-0{,}6054\cdot0{,}7071|=0{,}1719 &|0{,}6-0{,}04844\cdot0{,}7071|=0{,}5657\\\ \tfrac\pi2 &|0{,}6-0|=0{,}6 &|0{,}6-0|=0{,}6\\\ \tfrac{3\pi}4&|0{,}6+0{,}4281|=1{,}0281 &|0{,}6+0{,}03425|=0{,}6343\\\ \pi &|0{,}6+0{,}6054|=1{,}2054 &|0{,}6+0{,}04844|=0{,}6484 \end{array}

Resposta

H(jΩ) e equações em diferenças:
(a) Janela Retangular
H_{\mathrm{rect}}(z) =-0{,}3027+0{,}6\,z^{-1}-0{,}3027\,z^{-2},
y[n] =-0{,}3027\,x[n] +0{,}6\,x[n-1] -0{,}3027\,x[n-2].
(b) Janela Hamming
H_{\mathrm{ham}}(z) =-0{,}02422+0{,}6\,z^{-1}-0{,}02422\,z^{-2},
y[n] =-0{,}02422\,x[n] +0{,}6\,x[n-1] -0{,}02422\,x[n-2].
Magnitudes calculadas em \Omega=0,\tfrac\pi4,\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}4,\pi conforme a tabela acima.

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