Dado o projeto um filtro FIR rejeita-faixa com as seguintes especificações:
  • Banda-passante inferior =0-1.200 \mathrm{~Hz};
  • Banda-passante superior =2.400-4.000 \mathrm{~Hz};
  • Banda de corte =1.600-2.000 \mathrm{~Hz};
  • Ripple de banda-passante =0,05 \mathrm{~dB};
  • Atenuação de banda de corte =60 \mathrm{~dB};
  • Taxa de amostragem =8.000 \mathrm{~Hz}.
Determine o que se pede a seguir:
a) O método de janela;
b) O comprimento do filtro FIR;
c) As frequências de corte para a equação de projeto.

Passo 1

O enunciado pede o projeto de um filtro FIR rejector-faixa (bandstop) pelas especificações abaixo, usando o método de janela:
  • f_{p1}=0 a 1\,200 Hz (banda de passagem inferior),
  • f_{s1}=1\,600 Hz a 2\,000 Hz (banda de rejeição),
  • f_{p2}=2\,400 a 4\,000 Hz (banda de passagem superior),
  • ripplo na banda de passagem \le0,05 dB,
  • atenuação na banda de rejeição \ge60 dB,
  • taxa de amostragem f_s=8\,000 Hz.
    Para resolver, vamos aplicar o método de janela de Kaiser, calcular o parâmetro \beta, a ordem N (e, consequentemente, o comprimento M=N+1) e determinar as frequências de corte normalizadas para a fórmula do filtro ideal.

Passo 2

Como a atenuação requerida é A=60\) dB, usamos a janela de Kaiser, cujo parâmetro \(\beta\) é dado por \[\beta = \begin{cases} 0,1102\,(A-8{,}7), & A>50,\\\\ 0{,}5842\,(A-21)^{0{,}4}+0{,}07886\,(A-21), & 21\le A\le50,\\\\ 0, & A<21. \end{cases}
Aqui (A=60>50], então
\beta = 0{,}1102\,(60 - 8{,}7) \approx 0{,}1102\times51{,}3 \approx 5{,}65.

Passo 3

O passo seguinte é achar a ordem mínima N pela fórmula típica do método de Kaiser:
N \ge \frac{A - 8}{2{,}285\,\Delta\omega},
onde \Delta\omega é a largura da faixa de transição em rad/s (por amostra). Temos duas transições iguais: de 1 200 Hz a 1 600 Hz e de 2 000 Hz a 2 400 Hz, logo
\Delta f = 1\,600 - 1\,200 = 400\text{ Hz}, \quad \Delta\omega = 2\pi\,\frac{\Delta f}{f_s} =2\pi\,\frac{400}{8000} =0{,}1\,\pi.
Substituindo em N:
N \ge \frac{60 - 8}{2{,}285\times0{,}1\pi} =\frac{52}{0{,}718}\approx72{,}4,
logo escolhemos N=73 (sempre arredondar para cima). O comprimento do filtro é
M = N + 1 = 74\text{ coeficientes}.

Passo 4

Para a construção do filtro ideal bandstop, devemos usar como frequências de corte os pontos médios das transições, ou seja,
f_{c1} = \frac{1\,200 + 1\,600}{2} = 1\,400\text{ Hz}, \quad f_{c2} = \frac{2\,000 + 2\,400}{2} = 2\,200\text{ Hz}.
Em frequência normalizada (rad/amostra):
\omega_{c1} = 2\pi\,\frac{1\,400}{8\,000} = 0{,}35\,\pi, \quad \omega_{c2} = 2\pi\,\frac{2\,200}{8\,000} = 0{,}55\,\pi.

Resposta

a) Método de janela de Kaiser, com \beta\approx5{,}65.
b) Ordem N=73, comprimento M=74 coeficientes.
c) Frequências de corte para a equação do ideal bandstop:
\omega_{c1}=0{,}35\,\pi e \omega_{c2}=0{,}55\,\pi (rad/amostra), equivalentes a 1\,400 Hz e 2\,200 Hz.

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