(RHK P 6.12) Duas bolas A e B, de massas diferentes e desconhecidas, se chocam. A está inicialmente em repouso e o módulo da velocidade de B é v. Depois do choque, B tem velocidade cujo módulo é v / 2 e se move perpendicularmente à sua direção original. a) Determine a direção em que a bola A se move após a colisão. b) Você pode determinar a velocidade de A com a informação dada? Explique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Duas bolas A e B com massas diferentes e desconhecidas: m_A e m_B.
    • Inicialmente a bola A está em repouso.
    • Inicialmente a bola B tem velocidade de módulo \,v e dirige-se numa certa direção (escolheremos essa direção como o eixo x).
    • Depois do choque, B tem velocidade de módulo \dfrac{v}{2} e sua direção é perpendicular à direção original de B.
  • Perguntas do enunciado:
    a) Determine a direção em que a bola A se move após a colisão.
    b) É possível determinar o módulo da velocidade de A com as informações dadas? Explique.

Passo 2

Escolha de sistema de referência e notação (isso facilita trabalhar com vetores).
  • Coloco o eixo x na direção inicial de B. Assim a velocidade inicial de B é \vec{v}_{\text{in}} = v\,\hat{\imath}.
  • Como a velocidade final de B é perpendicular à original, tomo o eixo y de modo que a velocidade final de B seja \vec{v}_B' = \dfrac{v}{2}\,\hat{\jmath}. (Se o problema tivesse dito “perpendicular para baixo” trocaríamos o sinal; a escolha do sentido +\hat{\jmath} é sem perda de generalidade.)
  • Denoto a velocidade final de A por \vec{u} = u_x\,\hat{\imath} + u_y\,\hat{\jmath}, sendo u_x e u_y as componentes que queremos relacionar.

Passo 3

Princípio físico a usar: conservação do momento linear (momentum).
Explicação didática curta: se não há forças externas significativas atuando durante o choque, o momento total antes do choque é igual ao momento total depois. O momento linear de uma partícula é \vec{p}=m\vec{v}. Aqui aplicamos componente a componente.
Equação vetorial da conservação do momento:
m_A\vec{u} + m_B\vec{v}_B' = m_B\vec{v}_{\text{in}}.
Substituindo as componentes escolhidas:
m_A(u_x\,\hat{\imath}+u_y\,\hat{\jmath}) + m_B\left(\frac{v}{2}\,\hat{\jmath}\right) = m_B(v\,\hat{\imath}).

Passo 4

Separe a equação vectorial em componentes x e y (isso é só escrever a igualdade para cada direção).
  • Componente x:
m_A u_x = m_B v.
  • Componente y:
m_A u_y + m_B\frac{v}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad m_A u_y = -\,m_B\frac{v}{2}.
Essas duas equações relacionam u_x e u_y às massas e a v.

Passo 5

Determine a direção de \vec{u} usando a razão entre componentes (a razão elimina as massas).
  • Dividindo a equação da componente y pela da componente x:
\frac{u_y}{u_x} = \frac{-\,m_B\frac{v}{2}}{m_B v} = -\frac{1}{2}.
  • Isso é crucial: a razão \dfrac{u_y}{u_x} não depende de m_A nem de m_B. Logo a direção de \vec{u} é totalmente determinada pelos dados dados do choque, mesmo sem conhecer as massas.

Passo 6

Interpretação geométrica da razão de componentes (como achar o ângulo).
  • A inclinação da velocidade de A em relação ao eixo x é \tan\theta = \dfrac{u_y}{u_x} = -\dfrac{1}{2}.
  • Portanto o ângulo \theta (medido a partir do eixo x positivo, sentido anti-horário; negativo significa abaixo do eixo x) é
\theta = \arctan\!\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right).
  • Em módulo \arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\approx 26{,}565^\circ. Logo a bola A sai formando um ângulo de aproximadamente 26{,}6^\circ abaixo da direção original de B (se B desviou para cima).

Passo 7

Agora respondo se dá para achar o módulo u=|\vec{u}|. Calcule u em termos das massas para ver se a massa aparece:
  • Das componentes obtém-se
u_x = \frac{m_B}{m_A}v,\qquad u_y = -\frac{m_B}{m_A}\frac{v}{2}.
  • O módulo é
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2} =\frac{m_B}{m_A}v\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2} =\frac{m_B}{m_A}\,v\,\frac{\sqrt{5}}{2}.
  • Ou seja, u depende da razão de massas \dfrac{m_B}{m_A}, que não foi dada pelo enunciado.

Passo 8

Conclusão e interpretação física para (b).
  • Com as informações fornecidas (apenas velocidades antes e depois e massas desconhecidas), não é possível determinar numericamente o módulo de u, porque falta a razão \dfrac{m_B}{m_A}.
  • Observação útil: se houvesse informação extra (por exemplo que a colisão é elasticamente perfeita junto com a massa de uma das bolas, ou se soubéssemos \dfrac{m_B}{m_A}), então seria possível obter u resolvendo também a conservação de energia cinética (no caso de colisão elástica) ou usando o valor conhecido da razão de massas.

Resposta

a) A direção de \vec{u} é dada por \tan\theta = -\dfrac{1}{2}; isto é, \theta=-\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\approx -26{,}565^\circ (aproximadamente 26{,}6^\circ abaixo da direção original de B).
b) Não. O módulo de u não pode ser determinado com as informações dadas porque
u=\frac{m_B}{m_A}\,v\,\frac{\sqrt{5}}{2},
que depende da razão de massas m_B/m_A, que é desconhecida.

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