(RHK P 6.12) Duas bolas A e B, de massas diferentes e desconhecidas, se chocam. A está inicialmente em repouso e o módulo da velocidade de B é
. Depois do choque, B tem velocidade cujo módulo é
e se move perpendicularmente à sua direção original. a) Determine a direção em que a bola A se move após a colisão. b) Você pode determinar a velocidade de A com a informação dada? Explique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Duas bolas
e com massas diferentes e desconhecidas: e . - Inicialmente a bola
está em repouso. - Inicialmente a bola
tem velocidade de módulo e dirige-se numa certa direção (escolheremos essa direção como o eixo ). - Depois do choque,
tem velocidade de módulo e sua direção é perpendicular à direção original de .
- Duas bolas
- Perguntas do enunciado:
a) Determine a direção em que a bolase move após a colisão.
b) É possível determinar o módulo da velocidade decom as informações dadas? Explique.
Passo 2
Escolha de sistema de referência e notação (isso facilita trabalhar com vetores).
- Coloco o eixo
na direção inicial de . Assim a velocidade inicial de é . - Como a velocidade final de
é perpendicular à original, tomo o eixo de modo que a velocidade final de seja . (Se o problema tivesse dito “perpendicular para baixo” trocaríamos o sinal; a escolha do sentido é sem perda de generalidade.) - Denoto a velocidade final de
por , sendo e as componentes que queremos relacionar.
Passo 3
Princípio físico a usar: conservação do momento linear (momentum).
Explicação didática curta: se não há forças externas significativas atuando durante o choque, o momento total antes do choque é igual ao momento total depois. O momento linear de uma partícula é . Aqui aplicamos componente a componente.
Explicação didática curta: se não há forças externas significativas atuando durante o choque, o momento total antes do choque é igual ao momento total depois. O momento linear de uma partícula é
Equação vetorial da conservação do momento:
Substituindo as componentes escolhidas:
Passo 4
Separe a equação vectorial em componentes
e
(isso é só escrever a igualdade para cada direção).
- Componente
:
- Componente
:
Essas duas equações relacionam
e
às massas e a
.
Passo 5
Determine a direção de
usando a razão entre componentes (a razão elimina as massas).
- Dividindo a equação da componente
pela da componente :
- Isso é crucial: a razão
não depende de nem de . Logo a direção de é totalmente determinada pelos dados dados do choque, mesmo sem conhecer as massas.
Passo 6
Interpretação geométrica da razão de componentes (como achar o ângulo).
- A inclinação da velocidade de
em relação ao eixo é . - Portanto o ângulo
(medido a partir do eixo positivo, sentido anti-horário; negativo significa abaixo do eixo ) é
- Em módulo
. Logo a bola sai formando um ângulo de aproximadamente abaixo da direção original de (se desviou para cima).
Passo 7
Agora respondo se dá para achar o módulo
. Calcule
em termos das massas para ver se a massa aparece:
- Das componentes obtém-se
- O módulo é
- Ou seja,
depende da razão de massas , que não foi dada pelo enunciado.
Passo 8
Conclusão e interpretação física para (b).
- Com as informações fornecidas (apenas velocidades antes e depois e massas desconhecidas), não é possível determinar numericamente o módulo de
, porque falta a razão . - Observação útil: se houvesse informação extra (por exemplo que a colisão é elasticamente perfeita junto com a massa de uma das bolas, ou se soubéssemos
), então seria possível obter resolvendo também a conservação de energia cinética (no caso de colisão elástica) ou usando o valor conhecido da razão de massas.
Resposta
a) A direção de
é dada por
; isto é,
(aproximadamente
abaixo da direção original de
).
b) Não. O módulo de não pode ser determinado com as informações dadas porque
b) Não. O módulo de
que depende da razão de massas
, que é desconhecida.