Quatro partículas têm as seguintes massas e coordenadas:
\begin{array}{ll} M_{a}=5,0 \mathrm{~kg} ; x_{a}=y_{a}=0,0 \mathrm{~cm} ; & M_{c}=2,0 \mathrm{~kg} ; x_{c}=3,0 ; y_{c}=0,0 \mathrm{~cm} ; \\\ M_{b}=3,0 \mathrm{~kg} ; x_{b}=y_{b}=8,0 \mathrm{~cm} ; & M_{d}=6,0 \mathrm{~kg} ; x_{d}=-2,0 ; y_{d}=-6,0 \mathrm{~cm} ; \end{array}
(a) Represente esses 4 corpos num plano x-y;
(b) Determine as coordenadas \mathrm{x}_{\mathrm{cm}} e \mathrm{y}_{\mathrm{cm}} do centro de massa desse sistema.

Passo 1

O enunciado dá quatro partículas com massas e coordenadas (todas as coordenadas estão em centímetros e as massas em quilogramas). As informações fornecidas são:
  • M_{a}=5{,}0\\ \text{kg}; x_{a}=0{,}0\\ \text{cm}; y_{a}=0{,}0\\ \text{cm}.
  • M_{b}=3{,}0\\ \text{kg}; x_{b}=8{,}0\\ \text{cm}; y_{b}=8{,}0\\ \text{cm}.
  • M_{c}=2{,}0\\ \text{kg}; x_{c}=3{,}0\\ \text{cm}; y_{c}=0{,}0\\ \text{cm}.
  • M_{d}=6{,}0\\ \text{kg}; x_{d}=-2{,}0\\ \text{cm}; y_{d}=-6{,}0\\ \text{cm}.
O enunciado pede duas coisas:
(a) representar esses 4 corpos num plano x\!-\!y (isto é, indicar onde cada ponto fica no plano);
(b) determinar as coordenadas \mathrm{x}_{\mathrm{cm}} e \mathrm{y}_{\mathrm{cm}} do centro de massa do sistema.

Passo 2

Como representar no plano x\!-\!y (parte a).
  • Para desenhar o plano, trace dois eixos perpendiculares: eixo horizontal x (positivo para a direita) e eixo vertical y (positivo para cima). Marque unidades em centímetros.
  • Localize cada partícula nas coordenadas dadas (peguei as coordenadas do enunciado acima):
    • Partícula a em (0{,}0\\ \text{cm},\,0{,}0\\ \text{cm}): está no ponto de origem.
    • Partícula b em (8{,}0\\ \text{cm},\,8{,}0\\ \text{cm}): está no primeiro quadrante, oito centímetros à direita e oito centímetros para cima.
    • Partícula c em (3{,}0\\ \text{cm},\,0{,}0\\ \text{cm}): sobre o eixo x, três centímetros à direita da origem.
    • Partícula d em (-2{,}0\\ \text{cm},\,-6{,}0\\ \text{cm}): no terceiro quadrante, dois centímetros à esquerda e seis centímetros para baixo.
  • Dica prática: marque cada ponto com um ponto/bola e anote a massa ao lado (ex.: a(0,0), M_a=5{,}0\\ \text{kg} etc.). Para ajudar na visualização, depois de calcular o centro de massa marque-o também no desenho.

Passo 3

Fórmulas para o centro de massa (parte b).
Explanação didática: o centro de massa de um conjunto de partículas é a média ponderada das suas posições, ponderada pelas massas. As fórmulas usam somas simples:
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i} M_{i} x_{i}}{\sum_{i} M_{i}},\qquad y_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i} M_{i} y_{i}}{\sum_{i} M_{i}}.
Aqui:
  • M_{i} é a massa da i-ésima partícula (em kg).
  • x_{i},y_{i} são as coordenadas dessa partícula (em cm, conforme dado).
  • As somas vão sobre as quatro partículas i\in\{a,b,c,d\}.
Observação prática: pode-se trabalhar com as coordenadas em centímetros diretamente (todas têm mesma unidade), o resultado ficará em centímetros; não é necessário converter para metros.

Passo 4

Calcular a massa total \sum_i M_i.
Somando as massas fornecidas:
\sum_{i}M_{i}=M_{a}+M_{b}+M_{c}+M_{d}=5{,}0+3{,}0+2{,}0+6{,}0=16{,}0\\ \text{kg}.

Passo 5

Calcular o numerador de x_{\mathrm{cm}}: \sum_i M_i x_i. Faço cada termo e somo (peguei as coordenadas do enunciado):
\begin{aligned} M_{a}x_{a}&=5{,}0\times0{,}0=0{,}0,\\\ M_{b}x_{b}&=3{,}0\times8{,}0=24{,}0,\\\ M_{c}x_{c}&=2{,}0\times3{,}0=6{,}0,\\\ M_{d}x_{d}&=6{,}0\times(-2{,}0)=-12{,}0. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i}M_{i}x_{i}=0{,}0+24{,}0+6{,}0-12{,}0=18{,}0\\ \text{kg}\cdot\text{cm}.

Passo 6

Dividir para obter x_{\mathrm{cm}}.
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i}M_{i}x_{i}}{\sum_{i}M_{i}}=\frac{18{,}0}{16{,}0}=\frac{9}{8}=1{,}125\\ \text{cm}.
Interpretação curta: o centro de massa está 1{,}125\\ \text{cm} à direita da origem.

Passo 7

Calcular o numerador de y_{\mathrm{cm}}: \sum_i M_i y_i. Faço cada termo (peguei as coordenadas do enunciado):
\begin{aligned} M_{a}y_{a}&=5{,}0\times0{,}0=0{,}0,\\\ M_{b}y_{b}&=3{,}0\times8{,}0=24{,}0,\\\ M_{c}y_{c}&=2{,}0\times0{,}0=0{,}0,\\\ M_{d}y_{d}&=6{,}0\times(-6{,}0)=-36{,}0. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i}M_{i}y_{i}=0{,}0+24{,}0+0{,}0-36{,}0=-12{,}0\\ \text{kg}\cdot\text{cm}.

Passo 8

Dividir para obter y_{\mathrm{cm}}.
y_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i}M_{i}y_{i}}{\sum_{i}M_{i}}=\frac{-12{,}0}{16{,}0}=-0{,}75\\ \text{cm}.
Interpretação curta: o centro de massa está 0{,}75\\ \text{cm} abaixo da origem.

Passo 9

Resumo e como marcar no desenho: no gráfico do Passo 2 marque os quatro pontos conforme as coordenadas e, com uma cor ou símbolo diferente, marque o ponto do centro de massa em (1{,}125\\ \text{cm},\,-0{,}75\\ \text{cm}). Isso mostra que o centro de massa fica ligeiramente à direita da origem e levemente abaixo dela, puxado principalmente pela massa maior em d que está abaixo.

Resposta

(a) A(0{,}0\\ \text{cm},\,0{,}0\\ \text{cm}),\\ M_{a}=5{,}0\\ \text{kg};\quad B(8{,}0\\ \text{cm},\,8{,}0\\ \text{cm}),\\ M_{b}=3{,}0\\ \text{kg};\quad C(3{,}0\\ \text{cm},\,0{,}0\\ \text{cm}),\\ M_{c}=2{,}0\\ \text{kg};\quad D(-2{,}0\\ \text{cm},\,-6{,}0\\ \text{cm}),\\ M_{d}=6{,}0\\ \text{kg}.
(b) x_{\mathrm{cm}}=1{,}125\\ \text{cm}
y_{\mathrm{cm}}=-0{,}75\\ \text{cm}

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