Quatro partículas têm as seguintes massas e coordenadas:
(a) Represente esses 4 corpos num plano
;
(b) Determine as coordenadas
e
do centro de massa desse sistema.
(b) Determine as coordenadas
Passo 1
O enunciado dá quatro partículas com massas e coordenadas (todas as coordenadas estão em centímetros e as massas em quilogramas). As informações fornecidas são:
-
; ; . -
; ; . -
; ; . -
; ; .
O enunciado pede duas coisas:
(a) representar esses 4 corpos num plano (isto é, indicar onde cada ponto fica no plano);
(b) determinar as coordenadas e
do centro de massa do sistema.
(a) representar esses 4 corpos num plano
(b) determinar as coordenadas
Passo 2
Como representar no plano
(parte a).
- Para desenhar o plano, trace dois eixos perpendiculares: eixo horizontal
(positivo para a direita) e eixo vertical (positivo para cima). Marque unidades em centímetros. - Localize cada partícula nas coordenadas dadas (peguei as coordenadas do enunciado acima):
- Partícula
em : está no ponto de origem. - Partícula
em : está no primeiro quadrante, oito centímetros à direita e oito centímetros para cima. - Partícula
em : sobre o eixo , três centímetros à direita da origem. - Partícula
em : no terceiro quadrante, dois centímetros à esquerda e seis centímetros para baixo.
- Partícula
- Dica prática: marque cada ponto com um ponto/bola e anote a massa ao lado (ex.:
etc.). Para ajudar na visualização, depois de calcular o centro de massa marque-o também no desenho.
Passo 3
Fórmulas para o centro de massa (parte b).
Explanação didática: o centro de massa de um conjunto de partículas é a média ponderada das suas posições, ponderada pelas massas. As fórmulas usam somas simples:
Explanação didática: o centro de massa de um conjunto de partículas é a média ponderada das suas posições, ponderada pelas massas. As fórmulas usam somas simples:
Aqui:
-
é a massa da -ésima partícula (em kg). -
são as coordenadas dessa partícula (em cm, conforme dado). - As somas vão sobre as quatro partículas
.
Observação prática: pode-se trabalhar com as coordenadas em centímetros diretamente (todas têm mesma unidade), o resultado ficará em centímetros; não é necessário converter para metros.
Passo 4
Calcular a massa total
.
Somando as massas fornecidas:
Somando as massas fornecidas:
Passo 5
Calcular o numerador de
:
. Faço cada termo e somo (peguei as coordenadas do enunciado):
Somando:
Passo 6
Dividir para obter
.
Interpretação curta: o centro de massa está
à direita da origem.
Passo 7
Calcular o numerador de
:
. Faço cada termo (peguei as coordenadas do enunciado):
Somando:
Passo 8
Dividir para obter
.
Interpretação curta: o centro de massa está
abaixo da origem.
Passo 9
Resumo e como marcar no desenho: no gráfico do Passo 2 marque os quatro pontos conforme as coordenadas e, com uma cor ou símbolo diferente, marque o ponto do centro de massa em
. Isso mostra que o centro de massa fica ligeiramente à direita da origem e levemente abaixo dela, puxado principalmente pela massa maior em
que está abaixo.
Resposta
(a)
(b)
(b)