• Um projetil é arremessado de forma vertical para acima com uma velocidade v_{0}. a) Calcule o tempo que demora em atingir a altura máxima H. b ) Calcule a altura maxima H. c) Mostre que o tempo em que o projetil demora em retornar no chão é o dobro de aquele que demora em atingir a altura máxima.

Passo 1

O enunciado trata do movimento vertical de um projétil lançado para cima com velocidade inicial v_{0} e aceleração da gravidade apontando para baixo, de módulo g. Queremos:
a) o tempo até atingir a altura máxima H,
b) o valor de H,
c) mostrar que o tempo total de queda (até o chão) é o dobro do tempo de subida.

Passo 2

Para encontrar o tempo de subida, lembramos que no instante em que atinge a altura máxima a velocidade instantânea é zero. A equação da velocidade no MUV (movimento uniformemente variado) é
v(t)=v_{0}-g\,t.
Impondo v(t)=0, temos
0=v_{0}-g\,t\;\Longrightarrow\;t=\frac{v_{0}}{g}.

Passo 3

Agora calculamos a altura máxima usando a equação da posição no MUV:
y(t)=v_{0}\,t-\frac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Substituindo o tempo de subida t=\tfrac{v_{0}}{g} em y(t),
H = v_{0}\,\frac{v_{0}}{g}\;-\;\frac{1}{2}\,g\;\Bigl(\frac{v_{0}}{g}\Bigr)^{2} =\frac{v_{0}^{2}}{g}-\frac{1}{2}\,\frac{v_{0}^{2}}{g} =\frac{v_{0}^{2}}{2\,g}.

Passo 4

Para achar o tempo até o projétil retornar ao chão, resolvemos y(t)=0 com a mesma equação da posição:
v_{0}\,t-\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}=0 \;\Longrightarrow\;t\bigl(v_{0}-\tfrac{1}{2}g\,t\bigr)=0 \;\Longrightarrow\;t=0\;\text{ou}\;t=\frac{2\,v_{0}}{g}.
O segundo valor é o tempo total de voo, digamos T=\tfrac{2\,v_{0}}{g}. Comparando com o tempo de subida t_{\text{subida}}=\tfrac{v_{0}}{g}, vemos que
T=2\,t_{\text{subida}}.

Resposta

a) t_{\text{subida}}=\dfrac{v_{0}}{g}.
b) H=\dfrac{v_{0}^{2}}{2\,g}.
c) T_{\text{total}}=\dfrac{2\,v_{0}}{g}=2\,t_{\text{subida}}.

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