• Um projetil é arremassado para acima com uma velocidade v_{0} desde o topo de um predio de altura h. a) Calcule em que tempo atingirá a base do predio. b) qual será a velocidade no instante que atinge o solo.

Passo 1

O enunciado diz que um projétil parte do topo de um prédio de altura h com velocidade inicial vertical para cima de módulo v_{0}. Queremos saber (a) o tempo até chegar ao solo e (b) a velocidade ao atingir o solo. O conteúdo aqui é o movimento uniformemente variado (MUV) na direção vertical com aceleração constante -g.

Passo 2

Para o MUV vertical, tomando para cima o sentido positivo, a posição y(t) em função do tempo segue
y(t)=h+v_{0}t-\tfrac{1}{2}gt^{2},
onde em t=0 temos y(0)=h e a velocidade v(t)=v_{0}-gt.

Passo 3

A condição de impacto é y(t)=0. Logo, resolvemos a equação
h+v_{0}t-\tfrac{1}{2}gt^{2}=0
ou equivalente
\tfrac{1}{2}gt^{2}-v_{0}t-h=0.
Pela fórmula de Bhaskara, as raízes são
t=\frac{v_{0}\pm\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}}{g}.

Passo 4

Como precisamos do tempo positivo, escolhemos o sinal “ +” em Bhaskara. Assim
t=\frac{v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}}{g}.
Para a velocidade ao atingir o solo, usamos v(t)=v_{0}-gt e substituímos esse t, obtendo
v=-\sqrt{v_{0}^{2}+2gh},
isto é, o projétil atinge o solo com velocidade de módulo \sqrt{v_{0}^{2}+2gh} apontando para baixo.

Resposta

(a)
t=\frac{v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}}{g}.
(b)
v=-\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}.

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