(IME-88/89) Sejam z e w números complexos tais que |\mathrm{z}|=1 \mathrm{e} |\mathrm{w}| \neq 1. Calcule \left|\frac{\mathrm{z}-\mathrm{w}}{1-\overline{\mathrm{w}} \cdot \mathrm{z}}\right| . \mathrm{R} :

Passo 1

O enunciado dá dois complexos z e w com |z|=1 e |w|\neq1 e pede
\displaystyle\left|\frac{z-w}{1-\overline w\,z}\right|.
Para resolver vamos usar as propriedades
  1. \overline{ab}=\overline a\,\overline b e
  2. |a\,b|=|a|\;|b| e |\overline a|=|a|.

Passo 2

Reescrevemos o denominador usando conjugado:
1-\overline w\,z = z\,\overline z \;-\;\overline w\,z = z\bigl(\overline z-\overline w\bigr) = z\,\overline{(z-w)}.

Passo 3

O módulo do numerador é
|z-w|.
O módulo do denominador é
|1-\overline w\,z| = \bigl|z\,\overline{(z-w)}\bigr| = |z|\;\bigl|\overline{(z-w)}\bigr| = |z|\;|z-w| = |z-w|,
porque |z|=1 e |\overline{(\cdot)}|=|\cdot|.

Passo 4

Portanto
\left|\frac{z-w}{1-\overline w\,z}\right| =\frac{|z-w|}{|1-\overline w\,z|} =\frac{|z-w|}{|z-w|} =1.

Resposta

1

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