Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está 50,0 m acima de um terreno plano, saindo da arma com uma velocidade de 250 m / s. Com base nestas informações, determine:
o módulo e o ângulo da velocidade do projétil quando ele se choca com o solo;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um projétil sendo disparado horizontalmente de uma altura de 50,0 m com uma velocidade inicial de 250 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir:
  1. O módulo da velocidade do projétil quando ele atinge o chão.
  2. O ângulo que essa velocidade faz com a horizontal no momento do impacto.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de movimento uniformemente acelerado na vertical e de componentes vetoriais da velocidade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento na horizontal. Como a arma está disparando o projétil horizontalmente e estamos desconsiderando a resistência do ar, a velocidade horizontal ( vx) permanece constante durante todo o trajeto. Então:
vx = 250 m/s

Passo 3

Agora, vamos olhar para o movimento na vertical. Inicialmente, o projétil não tem velocidade vertical ( vy0 = 0), mas a gravidade ( g = 9,81 m/s^2) faz com que ele acelere para baixo.
Precisamos calcular a velocidade vertical ( vy) no momento do impacto. Para isso, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
vy = vy0 + g cdot t
Mas antes de achar vy, precisamos descobrir o tempo ( t) que o projétil leva para cair os 50,0 m. Usamos a equação da posição:
h = vy0 cdot t + 12 g t^2
Com h = 50,0 m e vy0 = 0, simplifica para:
50,0 = 12 cdot 9,81 cdot t^2
t^2 = 1009,81
t = raiz1009,81 approx 3,19 s

Passo 4

Agora que sabemos que o tempo de queda é aproximadamente 3,19 s, podemos encontrar a velocidade vertical no impacto:
vy = 0 + 9,81 cdot 3,19 approx 31,3 m/s
Então, a componente vertical da velocidade no momento do impacto é 31,3 m/s para baixo.

Passo 5

Com as duas componentes da velocidade ( vx e vy), podemos encontrar o módulo total da velocidade no impacto usando o Teorema de Pitágoras:
v = raizvx^2 + vy^2
Substituindo os valores:
v = raiz(250)^2 + (31,3)^2 approx raiz62500 + 980 approx raiz63480 approx 252 m/s

Passo 6

Por último, vamos encontrar o ângulo ( theta) que a velocidade faz com a horizontal no impacto. Usamos a função tangente:
tan(theta) = vyvx
theta = arctan(31,3250) approx arctan(0,125) approx 7,1^circ

Resposta

Quando o projétil atinge o solo, a velocidade tem um módulo de aproximadamente 252 m/s e faz um ângulo de cerca de 7,1^circ abaixo da horizontal.

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