Um projétil é disparado no instante t=0,0 \mathrm{~s}, a partir de um ponto na beira de um rochedo, com componentes de velocidade inicial \mathrm{v}_{0 \mathrm{x}}=60 \mathrm{~m} / \mathrm{se} \mathrm{v}_{0 \mathrm{y}} =800 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O projétil sobe e depois cai no mar no ponto P. O tempo de voo do projétil é de 200 s . Considerando \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, o módulo da velocidade no instante \mathrm{t}=15 \mathrm{~s} se aproxima mais de (resposta em \mathrm{m} / \mathrm{s} ):
a) 656
b) 653
c) 654
d) 939

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o módulo da velocidade no instante t=15\\ \mathrm{s}:
  • Componentes da velocidade inicial: \mathrm{v}_{0x}=60\\ \mathrm{m/s} e \mathrm{v}_{0y}=800\\ \mathrm{m/s}.
  • A aceleração da gravidade é \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (direção para baixo).
  • Tempo em que queremos o módulo da velocidade: t=15\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado também informa que o tempo de voo total é 200\\ \mathrm{s}, mas isso não é necessário para calcular a velocidade no instante pedido.
O que precisamos encontrar: o módulo do vetor velocidade \mathbf{v}(t) em t=15\\ \mathrm{s}, ou seja |\mathbf{v}(15\\ \mathrm{s})|.

Passo 2

Conceito e fórmulas úteis (explicando cada símbolo):
  • Num movimento de projétil sem resistência do ar, a componente horizontal da velocidade permanece constante porque não há aceleração horizontal:
v_x(t)=v_{0x}.
Aqui v_x(t) é a componente horizontal da velocidade no tempo t e v_{0x} é a componente horizontal inicial.
  • A componente vertical varia linearmente com o tempo devido à aceleração gravitacional para baixo:
v_y(t)=v_{0y}-g\,t.
Aqui v_y(t) é a componente vertical no tempo t, v_{0y} é a componente vertical inicial, e g é a aceleração da gravidade (positiva no valor, subtraída porque a gravidade aponta para baixo).
  • O módulo (comprimento) do vetor velocidade \mathbf{v}(t) é dado pelo teorema de Pitágoras nas componentes:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}.
Isso vem de interpretar \mathbf{v} como um vetor com componentes ortogonais.

Passo 3

Calcular a componente horizontal em t=15\\ \mathrm{s}. Como v_x(t)=v_{0x},
v_x(15)=60\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a componente vertical em t=15\\ \mathrm{s} usando v_y(t)=v_{0y}-g\,t:
v_y(15)=800 - 9,8\cdot 15.
Fazendo a multiplicação 9,8\cdot 15=147, então
v_y(15)=800-147=653\\ \mathrm{m/s}.
Observação: é positivo, ou seja, no instante 15\\ \mathrm{s} o projétil ainda está subindo (velocidade vertical para cima).

Passo 5

Agora calculamos o módulo da velocidade com a fórmula do passo 2:
|\mathbf{v}(15)|=\sqrt{v_x(15)^2+v_y(15)^2}=\sqrt{60^2+653^2}.
Calculemos os quadrados:
60^2=3600,\qquad 653^2=426409.
Somando,
60^2+653^2=3600+426409=430009.
Portanto
|\mathbf{v}(15)|=\sqrt{430009}.

Passo 6

Aproximação da raiz quadrada sem calculadora: vejamos quadrados inteiros próximos.
655^2=429025,\qquad 656^2=430336.
Nosso número 430009 está entre esses dois: mais perto de 656^2. Fazendo uma interpolação rápida,
|\mathbf{v}(15)|\approx 655,75\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando ao valor disponível nas alternativas, o mais próximo é 656\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) 656

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