Um projétil é disparado sobre um campo horizontal com uma velocidade inicial de 24,5 m / s sob um ângulo de 36,9^circ. No ponto mais elevado da trajetória o projétil explode e se divide em dois fragmentos de massas iguais. Um deles cai na vertical até o solo. Em que ponto outro fragmento atinge o solo? [R: 88,2 m]

Passo 1

O enunciado descreve um projétil lançado com velocidade inicial v0=24,5,m/s sob ângulo theta=36,9^circ em relação à horizontal. No ponto mais alto da trajetória (onde a componente vertical da velocidade é zero) ele explode em dois fragmentos de massa igual. Um fragmento cai verticalmente, o outro segue com velocidade horizontal resultante pela explosão. Precisamos usar:
  • Cinemática do movimento do centro de massa (movimento de projétil) para achar tempo e posição do ápice.
  • Conservação do momento linear na direção horizontal, pois não há forças externas horizontais no instante da explosão.
  • Queda livre para o fragmento que adquire só velocidade horizontal após a explosão.

Passo 2

Calculemos as componentes da velocidade inicial e as coordenadas do ponto de explosão (ápice):
v0x=v0costheta, v0y=v0sintheta
Tempo para atingir o ápice (onde vy=0):
tápice=v0yg=v0sinthetag á
Posição horizontal no ápice:
xápice=v0x,tápice =v0^2sinthetacosthetag =v0^2sin(2theta)2g áá

Passo 3

No instante da explosão, o momento horizontal total vale
px,antes=m,v0x
Após a explosão, um fragmento (massa m/2) fica com velocidade horizontal zero, logo o outro (massa m/2) deve carregar todo o momento:
m2,vx,!2=m,v0x Longrightarrow vx,!2=2,v0x=2,v0costheta

Passo 4

Esse segundo fragmento parte do ápice com altura
hmax=v0y^22g
e velocidade horizontal vx,2. O tempo de queda é
tqueda=raiz2hmaxg =raiz2g,v0y^22g =v0yg =v0sinthetag
Deslocamento horizontal após a explosão:
De<a x = vx,2,tqueda =2,v0costheta;v0sinthetag =2,v0^2sinthetacosthetag =v0^2sin(2theta)g

Passo 5

A posição de impacto do segundo fragmento mede-se desde a origem:
ximpacto = xápice+De<a x =v0^2sin(2theta)2g +v0^2sin(2theta)g =3,v0^2sin(2theta)2g á
Substituindo v0=24,5,m/s, theta=36,9^circ e g=9,8,m/ s^2:
ximpactoapprox88,2 m

Resposta

O segundo fragmento atinge o solo a aproximadamente 88,2,m da posição de lançamento.

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