Um satélite de masa m, originalmente na superfície da Terra, é colocado em órbita em uma altitude h acima da superfície. a) Considerando uma órbita circular, qual o período do satélite? b) Qual sua velocidade? c) De onde o satélite deve ser lançado para minimizar a energia necessária para colocá-lo em órbita?

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que um satélite de massa r = R + h sai da superfície da Terra e vai para uma órbita circular de raio
sendo o raio da Terra e a altitude.
Conteúdo: mecânica orbital (gravitação universal e órbitas circulares).
O que vamos usar:
  • Lei da gravitação de Newton ( )
  • Força centrípeta ( )
  • Relação entre velocidade, raio e período numa órbita circular.

Passo 2

Calcular o período m,v^2r ;=; G,M,mr^2 .
  1. Para um satélite em órbita circular a força gravitacional faz o papel de força centrípeta:
v = raizG,Mr
  1. Isolando T = 2pi,rv :
T = 2pi,rraizGM/r = 2pi,raizr^3GM = 2pi,raiz(R+h)^3G,M
  1. O período é o tempo para dar uma volta completa:
  1. Substituindo :

Passo 3

Calcular a velocidade v = raizG,Mr = raizG,MR + h .
Já tiramos no passo anterior:

Passo 4

De onde lançar para minimizar energia?
Para diminuir o combustível (energia) necessário, você quer aproveitar ao máximo a rotação da Terra.
  • A maior velocidade da superfície ocorre no Equador (aprox.\ ).
  • E você lança para leste, no mesmo sentido da rotação.
    Logo: o ideal é lançar exatamente na linha do Equador, em direção ao leste.

Resposta

a)
b)
c) Para economizar energia, lançar na linha do Equador, em direção ao leste.

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