Na geometria diferencial existem fórmulas fundamentais no estudo das curvas parametrizadas:
(1)
(2)
(3)
.
Estas fórmulas são denominadas de fórmulas de Frenet-Serret. Utilize essas fórmulas, para provar:
(a)
.
(1)
(2)
(3)
(a)
Passo 1
O enunciado nos deu as fórmulas de Frenet–Serret (válidas quando a curva é parametrizada por comprimento de arco
):
A tarefa é provar a identidade
que é a forma conhecida da aceleração em termos da componente tangencial e normal quando a curva não está parametrizada por comprimento de arco.
Observações e informações relevantes que usarei (retiradas implicitamente do enunciado):
- Vou chamar
o comprimento de arco medido a partir de um ; isto é, . (O enunciado usa ; tratarei isso como o escalar .) - A velocidade escalar é
. - O versor tangente unitário é
. - A curvatura
aparece na fórmula fornecida.
Passo 2
Relacionar
,
e
.
Pela definição de
como versor tangente temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a decomposição básica da velocidade:
Explicação: isto é apenas a expressão de que a derivada temporal da posição (vetor velocidade) é o produto da velocidade escalar
pelo versor tangente
. É uma identidade direta da definição de
.
Passo 3
Derivar
em relação a
usando a regra do produto (para escalares vezes vetores).
A regra do produto para um escalar
e um vetor
diz
Aplicando com
e
, temos
Explicação didática: a aceleração
separa-se em uma parte tangencial
(variação da rapidez) e uma parte ligada à variação da direção do vetor tangente,
.
Passo 4
Expressar
em termos de derivada em relação a
e usar a fórmula de Frenet–Serret.
Pelo teorema da cadeia, se
é função de
e
é função de
, então
Como
e pela fórmula dada
, segue
Explicação: esta é a aplicação direta da Frenet–Serret (fórmula (1)) combinada com a regra da cadeia. Note que
e
podem depender implicitamente de
(ou de
), mas escrevemos a relação pontual válida para cada
.
Passo 5
Substituir
em
e simplificar.
Substituindo o resultado do passo anterior:
Agrupando os fatores escalares:
Interpretação física rápida (para motivar memorização): a componente tangencial da aceleração é
ao longo de
(variação da rapidez) e a componente normal é
ao longo de
, onde
.