Na geometria diferencial existem fórmulas fundamentais no estudo das curvas parametrizadas:
(1) \frac{d \vec{T}}{d s}=k \vec{N}
(2) \frac{d \vec{N}}{d s}=-k \vec{T}+\tau \vec{B}
(3) \frac{d \vec{B}}{d s}=-\tau \vec{N}.
Estas fórmulas são denominadas de fórmulas de Frenet-Serret. Utilize essas fórmulas, para provar:
(a) \alpha^{\prime \prime}(t)=\vec{S}^{\prime \prime}(t) \cdot \vec{T}(t)+k\left[\vec{S}^{\prime}(t)\right]^{2} \cdot \vec{N}.

Passo 1

O enunciado nos deu as fórmulas de Frenet–Serret (válidas quando a curva é parametrizada por comprimento de arco s):
\frac{d\vec{T}}{ds}=k\,\vec{N},\qquad \frac{d\vec{N}}{ds}=-k\,\vec{T}+\tau\,\vec{B},\qquad \frac{d\vec{B}}{ds}=-\tau\,\vec{N}.
A tarefa é provar a identidade
\alpha''(t)=\vec{S}''(t)\cdot\vec{T}(t)+k\,[\vec{S}'(t)]^{2}\cdot\vec{N},
que é a forma conhecida da aceleração em termos da componente tangencial e normal quando a curva não está parametrizada por comprimento de arco.
Observações e informações relevantes que usarei (retiradas implicitamente do enunciado):
  • Vou chamar s(t) o comprimento de arco medido a partir de um t_0; isto é, s(t)=\int_{t_0}^{t}|\alpha'(u)|\,du. (O enunciado usa \vec{S}; tratarei isso como o escalar s(t).)
  • A velocidade escalar é s'(t)=\dfrac{ds}{dt}=|\alpha'(t)|.
  • O versor tangente unitário é \vec{T}(t)=\dfrac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}=\dfrac{\alpha'(t)}{s'(t)}.
  • A curvatura k aparece na fórmula \dfrac{d\vec{T}}{ds}=k\,\vec{N} fornecida.

Passo 2

Relacionar \alpha'(t), s'(t) e \vec{T}(t).
Pela definição de \vec{T}(t) como versor tangente temos
\vec{T}(t)=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}=\frac{\alpha'(t)}{s'(t)}.
Multiplicando ambos os lados por s'(t) obtemos a decomposição básica da velocidade:
\alpha'(t)=s'(t)\,\vec{T}(t).
Explicação: isto é apenas a expressão de que a derivada temporal da posição (vetor velocidade) é o produto da velocidade escalar s'(t) pelo versor tangente \vec{T}(t). É uma identidade direta da definição de \vec{T}.

Passo 3

Derivar \alpha'(t)=s'(t)\,\vec{T}(t) em relação a t usando a regra do produto (para escalares vezes vetores).
A regra do produto para um escalar f(t) e um vetor \vec{v}(t) diz
\frac{d}{dt}\big(f(t)\vec{v}(t)\big)=f'(t)\vec{v}(t)+f(t)\vec{v}\,'(t).
Aplicando com f(t)=s'(t) e \vec{v}(t)=\vec{T}(t), temos
\alpha''(t)=s''(t)\,\vec{T}(t)+s'(t)\,\frac{d\vec{T}}{dt}.
Explicação didática: a aceleração \alpha''(t) separa-se em uma parte tangencial s''(t)\,\vec{T} (variação da rapidez) e uma parte ligada à variação da direção do vetor tangente, s'(t)\,\dfrac{d\vec{T}}{dt}.

Passo 4

Expressar \dfrac{d\vec{T}}{dt} em termos de derivada em relação a s e usar a fórmula de Frenet–Serret.
Pelo teorema da cadeia, se \vec{T} é função de s e s é função de t, então
\frac{d\vec{T}}{dt}=\frac{d\vec{T}}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}.
Como \dfrac{ds}{dt}=s'(t) e pela fórmula dada \dfrac{d\vec{T}}{ds}=k\,\vec{N}, segue
\frac{d\vec{T}}{dt}= \big(k\,\vec{N}\big)\,s'(t)=k\,s'(t)\,\vec{N}.
Explicação: esta é a aplicação direta da Frenet–Serret (fórmula (1)) combinada com a regra da cadeia. Note que k e \vec{N} podem depender implicitamente de s (ou de t), mas escrevemos a relação pontual válida para cada t.

Passo 5

Substituir \dfrac{d\vec{T}}{dt} em \alpha''(t)=s''(t)\,\vec{T}(t)+s'(t)\,\dfrac{d\vec{T}}{dt} e simplificar.
Substituindo o resultado do passo anterior:
\alpha''(t)=s''(t)\,\vec{T}(t)+s'(t)\big(k\,s'(t)\,\vec{N}(t)\big).
Agrupando os fatores escalares:
\alpha''(t)=s''(t)\,\vec{T}(t)+k\,[s'(t)]^{2}\,\vec{N}(t).
Interpretação física rápida (para motivar memorização): a componente tangencial da aceleração é s''(t) ao longo de \vec{T} (variação da rapidez) e a componente normal é k v^{2} ao longo de \vec{N}, onde v=s'(t).

Resposta

\alpha''(t)=s''(t)\,\vec{T}(t)+k\,[s'(t)]^{2}\,\vec{N}(t)

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