Uma canalização, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e cuja extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar 400 litros por segundo por gravidade. Sabendo-se que o desnível existente entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 75 m , e desprezando-se as perdas de carga localizadas. Calcule o seu diâmetro. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma canalização com as seguintes características:
- Rugosidade aparente: 0,03 mm
- Extensão: 5 quilômetros
- Vazão: 400 litros por segundo (L/s) por gravidade
- Desnível: 75 metros entre as extremidades
- Perdas de carga locais: desprezadas
Nosso objetivo aqui é calcular o diâmetro dessa canalização. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica, especificamente a Equação de Manning, que nos ajuda a relacionar vazão, diâmetro, rugosidade e desnível em canais.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
- Vazão (Q): 400 L/s = 0,4 m³/s
- Extensão (L): 5 km = 5000 metros
- Rugosidade (n): 0,03 mm = 0,00003 metros
Passo 3
Agora, vamos calcular a declividade do canal, que é o desnível dividido pela extensão:
Essa declividade nos diz quão inclinado está o canal, o que afeta a velocidade da água.
Passo 4
Vamos usar a Equação de Manning para canais fechados (canalização totalmente cheia). A fórmula é:
Onde:
- $ Q $ é a vazão (0,4 m³/s)
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade (0,00003)
- $ A $ é a área da seção transversal do canal
- $ R $ é o raio hidráulico
- $ S $ é a declividade (0,015)
Passo 5
Para um canal circular totalmente cheio, a área (A) e o raio hidráulico ® são dados por:
Onde $ D $ é o diâmetro do canal.
Passo 6
Substituindo $ A $ e $ R $ na Equação de Manning:
Vamos simplificar essa equação para resolver para $ D $.
Passo 7
Primeiro, calculamos $ (0,015)^{1/2} $:
Agora, a equação fica:
Passo 8
Vamos reorganizar a equação para isolar $ D $:
Simplificando os termos constantes:
Passo 9
Calculando os exponentes e simplificando:
- $ 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $
- $ 4^{-\frac{2}{3}} = \left(22\right){-\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{4}{3}} $
A equação fica:
Passo 10
Agora, vamos calcular os coeficientes numéricos:
- $ \frac{\pi \cdot 0,1225}{4 \cdot 0,00003} \approx 3204,83 $
- $ 2^{-\frac{4}{3}} \approx 0,2973 $
Multiplicando esses valores:
Portanto, a equação simplificada é:
Passo 11
Isolando $ D^{\frac{8}{3}} $:
Agora, para encontrar $ D $, elevamos ambos os lados a $ \frac{3}{8} $:
Resposta
O diâmetro da canalização é aproximadamente 60 mm.