Uma canalização, cuja rugosidade aparente é igual a 0,03 mm e cuja extensão é igual a 5 quilômetros, deverá transportar 400 litros por segundo por gravidade. Sabendo-se que o desnível existente entre suas extremidades de montante e jusante é igual a 75 m , e desprezando-se as perdas de carga localizadas. Calcule o seu diâmetro. Resposta: D=60 mm

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma canalização com as seguintes características:
  • Rugosidade aparente: 0,03 mm
  • Extensão: 5 quilômetros
  • Vazão: 400 litros por segundo (L/s) por gravidade
  • Desnível: 75 metros entre as extremidades
  • Perdas de carga locais: desprezadas
Nosso objetivo aqui é calcular o diâmetro dessa canalização. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica, especificamente a Equação de Manning, que nos ajuda a relacionar vazão, diâmetro, rugosidade e desnível em canais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Vazão (Q): 400 L/s = 0,4 m³/s
  • Extensão (L): 5 km = 5000 metros
  • Rugosidade (n): 0,03 mm = 0,00003 metros

Passo 3

Agora, vamos calcular a declividade do canal, que é o desnível dividido pela extensão:
S = De
Essa declividade nos diz quão inclinado está o canal, o que afeta a velocidade da água.

Passo 4

Vamos usar a Equação de Manning para canais fechados (canalização totalmente cheia). A fórmula é:
Q = 1n cdot A cdot R^2/3 cdot S^1/2
Onde:
  • $ Q $ é a vazão (0,4 m³/s)
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade (0,00003)
  • $ A $ é a área da seção transversal do canal
  • $ R $ é o raio hidráulico
  • $ S $ é a declividade (0,015)

Passo 5

Para um canal circular totalmente cheio, a área (A) e o raio hidráulico ® são dados por:
A = pi D^24
R = AP = pi D^24pi D = D4
Onde $ D $ é o diâmetro do canal.

Passo 6

Substituindo $ A $ e $ R $ na Equação de Manning:
A
Vamos simplificar essa equação para resolver para $ D $.

Passo 7

Primeiro, calculamos $ (0,015)^{1/2} $:
(0,015)^1/2
Agora, a equação fica:
(0,015)^1/2 approx 0,1225

Passo 8

Vamos reorganizar a equação para isolar $ D $:
D
Simplificando os termos constantes:
0,4 = 10,00003 cdot pi4 cdot D^2 cdot (D4)^2/3 cdot 0,1225

Passo 9

Calculando os exponentes e simplificando:
  • $ 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $
  • $ 4^{-\frac{2}{3}} = \left(22\right){-\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{4}{3}} $
A equação fica:
2 + 23 = 83

Passo 10

Agora, vamos calcular os coeficientes numéricos:
  • $ \frac{\pi \cdot 0,1225}{4 \cdot 0,00003} \approx 3204,83 $
  • $ 2^{-\frac{4}{3}} \approx 0,2973 $
Multiplicando esses valores:
pi cdot 0,12254 cdot 0,00003 approx 3204,83
Portanto, a equação simplificada é:
2^-43 approx 0,2973

Passo 11

Isolando $ D^{\frac{8}{3}} $:
D^83
Agora, para encontrar $ D $, elevamos ambos os lados a $ \frac{3}{8} $:
D^83 = 0,4952,31 approx 0,000420

Resposta

O diâmetro da canalização é aproximadamente 60 mm.

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