Um projétil é lançado de uma plataforma de h=50m de altura, com uma velocidade inicial de
a um ângulo de
em relação à horizontal. Sabendo que a aceleração da gravidade é
, determine:
O alcance horizontal do projétil.
O alcance horizontal do projétil.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Física sobre o movimento de projéteis. O problema envolve calcular o alcance horizontal de um projétil lançado de uma altura de 50 metros com uma velocidade inicial de $ v_{0} = 80 , m/s $ e um ângulo de $ \theta = 45^{\circ} $ em relação à horizontal. Para isso, vamos utilizar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento para projéteis, considerando a decomposição das velocidades e a influência da gravidade $ g = 9,8 , m/s^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas suas componentes horizontal ($ v_{0x}
v_{0y} $). Isso é feito usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
Como $ \theta = 45^{\circ} $, sabemos que $ \cos(45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Passo 3
Calculando as componentes da velocidade inicial:
Passo 4
Agora, vamos determinar o tempo que o projétil leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
Onde $ y_{0} = 50 , m $ é a altura inicial. Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ y(t) = 0 $:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para $ t $:
Utilizamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Portanto,
A raiz positiva é considerada, então:
Passo 6
Finalmente, calculamos o alcance horizontal ($ R $) usando a componente horizontal da velocidade e o tempo total de voo:
Resposta
O alcance horizontal do projétil é aproximadamente $ 700 , metros $.