Um projétil é lançado de uma plataforma de h=50m de altura, com uma velocidade inicial de v0=80 m / s a um ângulo de theta=45^circ em relação à horizontal. Sabendo que a aceleração da gravidade é g=9,8 m / s^2, determine:
O alcance horizontal do projétil.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Física sobre o movimento de projéteis. O problema envolve calcular o alcance horizontal de um projétil lançado de uma altura de 50 metros com uma velocidade inicial de $ v_{0} = 80 , m/s $ e um ângulo de $ \theta = 45^{\circ} $ em relação à horizontal. Para isso, vamos utilizar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento para projéteis, considerando a decomposição das velocidades e a influência da gravidade $ g = 9,8 , m/s^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas suas componentes horizontal ($ v_{0x} v0x v_{0y} $). Isso é feito usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
v0y
v0x = v0 cdot cos(theta)
Como $ \theta = 45^{\circ} $, sabemos que $ \cos(45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Passo 3

Calculando as componentes da velocidade inicial:
v0x = 80 cdot raiz22 = 40raiz2 , m/s
v0y = 80 cdot raiz22 = 40raiz2 , m/s

Passo 4

Agora, vamos determinar o tempo que o projétil leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
y(t) = y0 + v0y t - 12 g t^2
Onde $ y_{0} = 50 , m $ é a altura inicial. Queremos encontrar o tempo $ t $ quando $ y(t) = 0 $:
y0 = 50 , m

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para $ t $:
t
12 cdot 9,8 , t^2 - 40raiz2 , t - 50 = 0
Utilizamos a fórmula de Bhaskara:
4,9 , t^2 - 40raiz2 , t - 50 = 0
Calculando o discriminante:
t = 40raiz2 pm raiz(40raiz2)^2 + 4 cdot 4,9 cdot 502 cdot 4,9
Portanto,
De
A raiz positiva é considerada, então:
t = 40raiz2 + raiz41809,8

Passo 6

Finalmente, calculamos o alcance horizontal ($ R $) usando a componente horizontal da velocidade e o tempo total de voo:
R

Resposta

O alcance horizontal do projétil é aproximadamente $ 700 , metros $.

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