Um projétil é lançado do solo com velocidade inicial
de módulo
, formando um ângulo de
com a horizontal. Despreze a resistência do ar e adote
.
a) Escreva, deduzindo por meio da Lei Universal da Gravitação, as equações paramétricas vetoriais do movimento
,
e a
em função do tempo.
b) Determine, o tempo de voo, a altura máxima e o alcance horizontal.
c) Discuta o que seria modificado nas equações paramétricas ao considerar o lançamento realizado no topo de um prédio de altura h.
a) Escreva, deduzindo por meio da Lei Universal da Gravitação, as equações paramétricas vetoriais do movimento
b) Determine, o tempo de voo, a altura máxima e o alcance horizontal.
c) Discuta o que seria modificado nas equações paramétricas ao considerar o lançamento realizado no topo de um prédio de altura h.
Passo 1
O enunciado trata do movimento de um projétil lançado do solo com velocidade inicial de módulo
e ângulo
em relação à horizontal, desprezando-se resistência do ar e adotando-se
. O conteúdo é cinemática vetorial com aceleração constante (gravidade). Para resolver, vamos:
- deduzir a aceleração a partir da Lei da Gravitação (campo uniforme próximo à superfície),
- integrar para obter
e , - encontrar tempo de voo, altura máxima e alcance,
- discutir a mudança no caso de lançamento de um prédio de altura
.
Passo 2
A força gravitacional na massa
é
onde
. Pela segunda lei de Newton,
Passo 3
Integrando
em relação a
e somando a velocidade inicial
, obtemos
Passo 4
Integrando
e tomando origem
, vem
Passo 5
O tempo de voo
satisfaz
, i.e.
Substituindo
e
:
Passo 6
A altura máxima ocorre em
. Usando
temos
, logo
Passo 7
O alcance horizontal
é
Como
,
Passo 8
Se o projétil sai de um topo de prédio de altura
, a componente vertical de
ganha o termo inicial
. Mantendo
e
iguais, temos
O tempo de voo satisfaz então
cuja solução positiva é
Resposta
(a)
(b)
Tempo de voo .
Altura máxima .
Alcance .
Tempo de voo
Altura máxima
Alcance
(c)
No lançamento de um prédio de altura , basta acrescentar
à componente vertical de
, ficando
No lançamento de um prédio de altura
e resolver
em função de
.