Um projétil é lançado do solo com velocidade inicial v0 de módulo v0=50 m / s, formando um ângulo de 30^circ com a horizontal. Despreze a resistência do ar e adote g=9,8 m / s^2.
a) Escreva, deduzindo por meio da Lei Universal da Gravitação, as equações paramétricas vetoriais do movimento r(t), v(t) e a (t) em função do tempo.
b) Determine, o tempo de voo, a altura máxima e o alcance horizontal.
c) Discuta o que seria modificado nas equações paramétricas ao considerar o lançamento realizado no topo de um prédio de altura h.

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um projétil lançado do solo com velocidade inicial de módulo v0=50 m/s e ângulo alpha=30^circ em relação à horizontal, desprezando-se resistência do ar e adotando-se g=9,8 m/s^2. O conteúdo é cinemática vetorial com aceleração constante (gravidade). Para resolver, vamos:
  1. deduzir a aceleração a partir da Lei da Gravitação (campo uniforme próximo à superfície),
  2. integrar para obter v(t) e r(t),
  3. encontrar tempo de voo, altura máxima e alcance,
  4. discutir a mudança no caso de lançamento de um prédio de altura h.

Passo 2

A força gravitacional na massa m é
F = m, g,
onde g=-g, j. Pela segunda lei de Newton,
a(t)= Fm= g = -,g, j

Passo 3

Integrando a(t) em relação a t e somando a velocidade inicial v(0)=v0cosalpha, i + v0sinalpha, j, obtemos
v(t) =integral a(t),dt + v(0) = v0cosalpha, i +l(v0sinalpha - g,tr), j

Passo 4

Integrando v(t) e tomando origem r(0)=0, vem
r(t) =integral v(t),dt = l(v0cosalpha;tr), i +l(v0sinalpha;t-tfrac12,g,t^2r), j

Passo 5

O tempo de voo tf satisfaz y(tf)=0, i.e.
v0sinalpha;tf-tfrac12,g,tf^2=0 Longrightarrow tf=2,v0sinalphag
Substituindo v0=50 e sin30^circ=1/2:
tf=2cdot50cdot129,8approx5,10 s

Passo 6

A altura máxima ocorre em tH = v0sinalpha/g. Usando
H = v0sinalpha;tH - tfrac12,g,tH^2 =(v0sinalpha)^22,g,
temos (v0sin30^circ)=25, logo
H=25^22cdot9,8approx31,9 m

Passo 7

O alcance horizontal R é
R = v0cosalpha;tf =v0^2sin(2alpha)g
Como sin60^circ=raiz3/2,
R=50^2cdotraiz329,8approx221 m

Passo 8

Se o projétil sai de um topo de prédio de altura h, a componente vertical de r(t) ganha o termo inicial h. Mantendo v(t) e a(t) iguais, temos
r(t) = l(v0cosalpha;tr), i +l(h + v0sinalpha;t-tfrac12,g,t^2r), j
O tempo de voo satisfaz então
h + v0sinalpha;tf - tfrac12,g,tf^2 =0,
cuja solução positiva é
tf = v0sinalpha + raiz(v0sinalpha)^2+2ghg

Resposta

(a)
a(t) = -,g, j, v(t)=v0cosalpha, i +l(v0sinalpha - g,tr), j,
r(t)=v0cosalpha,t, i +l(v0sinalpha,t-tfrac12,g,t^2r), j
(b)
Tempo de voo tf=dfrac2,v0sinalphagapprox5,10 s.
Altura máxima H=dfrac(v0sinalpha)^22gapprox31,9 m.
Alcance R=dfracv0^2sin(2alpha)gapprox221 m.
(c)
No lançamento de um prédio de altura h, basta acrescentar +h à componente vertical de r(t), ficando
r(t)=v0cosalpha,t, i +l(h + v0sinalpha,t-tfrac12,g,t^2r), j,
e resolver y(tf)=0 em função de h.

Exercícios relacionados