Utilizando a Lei Universal da Gravitação, deduza a expressão solicitada de uma partícula de massa m nas seguintes situações:
Vetor posição em coordenadas cartesianas quando a partícula está em órbita circular ao redor de um planeta de massa M, com velocidade angular constante.
Vetor posição em coordenadas cartesianas quando a partícula está em órbita circular ao redor de um planeta de massa M, com velocidade angular constante.
Passo 1
Resumindo: queremos a expressão de
em coordenadas cartesianas para uma partícula de massa
em órbita circular uniforme (velocidade angular constante
) em torno de um planeta de massa
. Vamos usar a Lei da Gravitação Universal para igualar a força gravitacional à força centrípeta.
Passo 2
A força gravitacional que puxa a massa
em direção ao planeta tem módulo
onde
é o raio da órbita. A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é
Como só há essas duas forças agindo radialmente, igualamos seus módulos:
Cancelando
e isolando
vem
Passo 3
Num sistema de eixos
com o plano da órbita nesse plano, o ângulo polar varia como
sendo
a fase inicial. Logo o vetor posição é