Utilizando a Lei Universal da Gravitação, deduza a expressão solicitada de uma partícula de massa m nas seguintes situações:
Vetor posição em coordenadas cartesianas quando a partícula está em órbita circular ao redor de um planeta de massa M, com velocidade angular constante.

Passo 1

Resumindo: queremos a expressão de vec r(t) em coordenadas cartesianas para uma partícula de massa m em órbita circular uniforme (velocidade angular constante omega) em torno de um planeta de massa M. Vamos usar a Lei da Gravitação Universal para igualar a força gravitacional à força centrípeta.

Passo 2

A força gravitacional que puxa a massa m em direção ao planeta tem módulo
Frm grav = G,M,mr^2,
onde r é o raio da órbita. A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é
Frm cen = m,r,omega^2
Como só há essas duas forças agindo radialmente, igualamos seus módulos:
m,r,omega^2 ;=;G,M,mr^2
Cancelando m e isolando r vem
r^3 ;=;G,Momega^2 Longrightarrow r ;=;gl(G,Momega^2gr)^!1/3

Passo 3

Num sistema de eixos xy com o plano da órbita nesse plano, o ângulo polar varia como
theta(t)=omega,t+varphi0,
sendo varphi0 a fase inicial. Logo o vetor posição é
vec r(t) = rcostheta(t),hatimath + rsintheta(t),hatjmath

Resposta

boxed vec r(t) =gl(G,Momega^2gr)^!1/3 l[cos(omega t+varphi0),hatimath +sin(omega t+varphi0),hatjmathr]

Exercícios relacionados