Utilizando a Lei Universal da Gravitação, deduza a expressão solicitada de uma partícula de massa m nas seguintes situações:
Vetor velocidade quando a partícula está afastada da superfície do planeta e se move em uma trajetória linear (sem influência significativa da órbita).
Vetor velocidade quando a partícula está afastada da superfície do planeta e se move em uma trajetória linear (sem influência significativa da órbita).
Passo 1
Resumo do problema: temos uma partícula de massa
sujeita apenas à força gravitacional de um planeta de massa
. A partícula está suficientemente afastada da superfície (trajetória essencialmente radial) e não há efeito de órbita. Queremos deduzir
, o vetor velocidade em função da distância
ao centro do planeta. Vamos usar a Lei de Gravitação Universal e conservação de energia (ou a forma equivalente de Newton).
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento em coordenada radial, a única força é
e pela Segunda Lei de Newton
Como o movimento é radial,
e a aceleração radial é
Logo a equação escalar fica
Passo 3
Cancelamos
e separamos variáveis:
Agora integramos dos valores iniciais
até
:
Passo 4
Executando as integrais:
Multiplicando por 2 e isolando
:
Passo 5
A direção de
é radial (para fora se a partícula está escapando, para dentro se estiver caindo), então escrevemos
Resposta
onde
é a posição inicial (por exemplo o raio do planeta) e
a velocidade naqueles instantes iniciais.