Utilizando a Lei Universal da Gravitação, deduza a expressão solicitada de uma partícula de massa m nas seguintes situações:
Vetor velocidade quando a partícula está afastada da superfície do planeta e se move em uma trajetória linear (sem influência significativa da órbita).

Passo 1

Resumo do problema: temos uma partícula de massa m sujeita apenas à força gravitacional de um planeta de massa M. A partícula está suficientemente afastada da superfície (trajetória essencialmente radial) e não há efeito de órbita. Queremos deduzir vec v(r), o vetor velocidade em função da distância r ao centro do planeta. Vamos usar a Lei de Gravitação Universal e conservação de energia (ou a forma equivalente de Newton).

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento em coordenada radial, a única força é
vec F = -,G,M,mr^2,hat r
e pela Segunda Lei de Newton
m,dvec vdt = -,G,M,mr^2,hat r
Como o movimento é radial, vec v = v(r),hat r e a aceleração radial é
dvec vdt = dvdt,hat r = dvdr,drdt,hat r = v,dvdr,hat r
Logo a equação escalar fica
m,v,dvdr = -,G,M,mr^2

Passo 3

Cancelamos m e separamos variáveis:
v,dv = -,G,Mr^2,dr
Agora integramos dos valores iniciais (r0,,v0) até (r,,v(r)):
integralv0^v(r) v,dv = -,G,M integralr0^r drr^2

Passo 4

Executando as integrais:
l[tfrac12,v^2r]v0^v(r) = -,G,Ml[-,1rr]r0^r Longrightarrow tfrac12,v(r)^2 - tfrac12,v0^2 = G,Ml(1r - 1r0r)
Multiplicando por 2 e isolando v(r):
v(r)^2 = v0^2 + 2,G,Ml(1r - 1r0r)

Passo 5

A direção de vec v é radial (para fora se a partícula está escapando, para dentro se estiver caindo), então escrevemos
vec v(r) = pm,raiz,v0^2 ;+; 2,G,Ml(1r-1r0r),;hat r

Resposta

boxed vec v(r) = pmraiz,v0^2 + 2,G,Ml(1r-1r0r),;hat r,
onde r0 é a posição inicial (por exemplo o raio do planeta) e v0 a velocidade naqueles instantes iniciais.

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