Um projétil é lançado no vácuo, a partir da origem do sistema coordenado, com uma velocidade inicial de
. Considerando
, obtenha:
O ângulo de lançamento tal que a altura máxima seja igual à metade do alcance.
O ângulo de lançamento tal que a altura máxima seja igual à metade do alcance.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que um projétil parte da origem com velocidade inicial de 108 km/h, no vácuo, e a gente precisa achar o ângulo de lançamento (θ) que faz a altura máxima (H) ser metade do alcance ®. Isso cai em movimentos de projétil, usando as fórmulas de física (cinemática): conversão de unidades, expressões de H e R em função de θ e g, e depois igualar H = R/2.
Passo 2
Primeiro, convertemos a velocidade inicial pra metro por segundo, porque g tá em m/s²:
v₀ = 108 km/h × (1000 m / 1 km) × (1 h / 3600 s) = 30 m/s
v₀ = 108 km/h × (1000 m / 1 km) × (1 h / 3600 s) = 30 m/s
Passo 3
Depois, anotamos as fórmulas da teoria de projétil (sem resistência do ar):
- Altura máxima:
- Alcance horizontal total:
Essas fórmulas vêm de decompor a velocidade em eixos x e y e usar as equações de energia ou cinemática.
Passo 4
A condição do exercício é H = R/2. Então:
Podemos simplificar v₀²/g dos dois lados e multiplicar por 2:
E como
, fica:
Assumindo
(ângulo não zero), divide por
:
Que dá:
Passo 5
Só falta achar θ:
Resposta
O ângulo de lançamento é aproximadamente 63,4°.