Um projétil é lançado no vácuo, a partir da origem do sistema coordenado, com uma velocidade inicial de 108 km / h. Considerando |g|=9,81 m / s^2, obtenha:
O ângulo de lançamento tal que a altura máxima seja igual à metade do alcance.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que um projétil parte da origem com velocidade inicial de 108 km/h, no vácuo, e a gente precisa achar o ângulo de lançamento (θ) que faz a altura máxima (H) ser metade do alcance ®. Isso cai em movimentos de projétil, usando as fórmulas de física (cinemática): conversão de unidades, expressões de H e R em função de θ e g, e depois igualar H = R/2.

Passo 2

Primeiro, convertemos a velocidade inicial pra metro por segundo, porque g tá em m/s²:
v₀ = 108 km/h × (1000 m / 1 km) × (1 h / 3600 s) = 30 m/s

Passo 3

Depois, anotamos as fórmulas da teoria de projétil (sem resistência do ar):
  • Altura máxima: H = v0^2 sin^2theta2g
  • Alcance horizontal total: R = v0^2 sin(2theta)g
Essas fórmulas vêm de decompor a velocidade em eixos x e y e usar as equações de energia ou cinemática.

Passo 4

A condição do exercício é H = R/2. Então:
v0^2 sin^2theta2g = 12 cdot v0^2 sin(2theta)g
Podemos simplificar v₀²/g dos dois lados e multiplicar por 2:
sin^2theta = sin(2theta)
E como sin^2theta = 2sinthetacostheta , fica:
sintheta = 2costheta
Assumindo tantheta = 2 (ângulo não zero), divide por :
Que dá:

Passo 5

Só falta achar θ:

Resposta

O ângulo de lançamento é aproximadamente 63,4°.

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