Um projétil é lançado com uma velocidade
segundo um ângulo
com a horizontal. Considere
o módulo da aceleração da gravidade e despreze atritos com o ar. (a) Determine o alcance do projétil. (b) Determine qual deve ser o
ângulo de lançamento com a horizontal para que o alcance seja máximo. (c) Demonstre que a altura máxima que um projétil alcança é
.
ângulo de lançamento com a horizontal para que o alcance seja máximo. (c) Demonstre que a altura máxima que um projétil alcança é
Passo 1
O enunciado dá um projétil lançado do solo com velocidade inicial
formando um ângulo
com a horizontal. A aceleração da gravidade tem módulo
(apontando para baixo). Desprezamos atrito com o ar. As perguntas são: (a) determinar o alcance horizontal do projétil; (b) determinar o ângulo de lançamento que maximiza esse alcance; (c) demonstrar que a altura máxima é
. Informações relevantes fornecidas:
,
(ou
na parte (c)),
; lançamento e aterrissagem ocorrem no mesmo nível (implícito quando pedem alcance sem especificar alturas diferentes); movimento sob aceleração constante vertical igual a
e sem aceleração horizontal.
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é fundamental para dividir o movimento em duas direções independentes (horizontal com aceleração zero e vertical com aceleração constante
). A decomposição usa trigonometria básica:
Aqui
é a componente horizontal da velocidade inicial e
é a componente vertical da velocidade inicial. Lembre:
projeta na horizontal,
projeta na vertical.
Passo 3
Escrevemos as equações do movimento para cada componente usando as fórmulas do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Para a horizontal, como não há aceleração:
Para a vertical, com aceleração
:
Essas equações nos dão a posição em função do tempo
.
Passo 4
Para achar o tempo total de voo (tempo até o projétil voltar ao mesmo nível do lançamento, isto é, até
novamente), resolvemos
. A equação é
Fatorando
:
As soluções são
(instante de lançamento) e
Escolhemos a solução positiva diferente de zero como tempo total de voo porque corresponde ao retorno ao solo.
Passo 5
O alcance horizontal
é a posição
no instante de aterrissagem
. Substituindo em
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma clássica do alcance:
Explicando a identidade:
é o seno do dobro do ângulo e vale
, por isso a substituição acima.
Passo 6
Agora vamos maximizar
em relação ao ângulo
. Observação:
e
são fixos, então maximizar
é equivalente a maximizar
. A função seno atinge seu valor máximo
quando o argumento é
(ou
). Assim
Em graus,
. Portanto o alcance é máximo quando
.
Passo 7
(Alternativa — método com derivada, só para ver outra técnica) Se preferir usar cálculo, derive
e iguale a zero:
daí
(no mínimo ou máximo relevante), levando a
. Verificar segunda derivada confirma máximo.
Passo 8
Para a altura máxima
usamos o movimento vertical. A velocidade vertical em função do tempo é
No topo da trajetória a velocidade vertical é zero,
. Resolvendo:
Passo 9
Substituímos
na expressão de
para obter a altura máxima. Usando
e
:
Calculemos passo a passo:
Se na parte (c) o enunciado usa
para o ângulo inicial, só substituir
por
na expressão final:
Resposta
(a)
.
(b) (ou
).
(c) .
(b)
(c)