Um projétil é lançado com uma velocidade v_{0} segundo um ângulo \theta com a horizontal. Considere g o módulo da aceleração da gravidade e despreze atritos com o ar. (a) Determine o alcance do projétil. (b) Determine qual deve ser o
ângulo de lançamento com a horizontal para que o alcance seja máximo. (c) Demonstre que a altura máxima que um projétil alcança é y_{\text {max }}=\left(v_{0} \operatorname{sen} \theta_{0}\right)^{2} / 2 g.

Passo 1

O enunciado dá um projétil lançado do solo com velocidade inicial \,v_{0}\, formando um ângulo \,\theta\, com a horizontal. A aceleração da gravidade tem módulo g (apontando para baixo). Desprezamos atrito com o ar. As perguntas são: (a) determinar o alcance horizontal do projétil; (b) determinar o ângulo de lançamento que maximiza esse alcance; (c) demonstrar que a altura máxima é \;y_{\text{max}}=\dfrac{\bigl(v_{0}\operatorname{sen}\theta_{0}\bigr)^{2}}{2g}\;. Informações relevantes fornecidas: \,v_{0}\,, \,\theta\, (ou \theta_{0} na parte (c)), g; lançamento e aterrissagem ocorrem no mesmo nível (implícito quando pedem alcance sem especificar alturas diferentes); movimento sob aceleração constante vertical igual a -g e sem aceleração horizontal.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é fundamental para dividir o movimento em duas direções independentes (horizontal com aceleração zero e vertical com aceleração constante -g). A decomposição usa trigonometria básica:
v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
Aqui \,v_{0x}\, é a componente horizontal da velocidade inicial e \,v_{0y}\, é a componente vertical da velocidade inicial. Lembre: \cos\theta projeta na horizontal, \sin\theta projeta na vertical.

Passo 3

Escrevemos as equações do movimento para cada componente usando as fórmulas do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Para a horizontal, como não há aceleração:
x(t)=v_{0x}\,t = v_{0}\cos\theta\;t.
Para a vertical, com aceleração a_{y}=-g:
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2} = v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Essas equações nos dão a posição em função do tempo t.

Passo 4

Para achar o tempo total de voo (tempo até o projétil voltar ao mesmo nível do lançamento, isto é, até y=0 novamente), resolvemos y(t)=0. A equação é
v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=0.
Fatorando t:
t\left(v_{0}\sin\theta-\tfrac{1}{2}g\,t\right)=0.
As soluções são t=0 (instante de lançamento) e
t=\dfrac{2v_{0}\sin\theta}{g}.
Escolhemos a solução positiva diferente de zero como tempo total de voo porque corresponde ao retorno ao solo.

Passo 5

O alcance horizontal \,R\, é a posição x(t) no instante de aterrissagem t=\dfrac{2v_{0}\sin\theta}{g}. Substituindo em x(t)=v_{0}\cos\theta\;t:
R = v_{0}\cos\theta\cdot\frac{2v_{0}\sin\theta}{g}=\frac{2v_{0}^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}.
Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, obtemos a forma clássica do alcance:
R=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}.
Explicando a identidade: \sin(2\theta) é o seno do dobro do ângulo e vale 2\sin\theta\cos\theta, por isso a substituição acima.

Passo 6

Agora vamos maximizar R em relação ao ângulo \theta. Observação: v_{0} e g são fixos, então maximizar R é equivalente a maximizar \sin(2\theta). A função seno atinge seu valor máximo 1 quando o argumento é \tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ). Assim
2\theta=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}.
Em graus, \theta=45^\circ. Portanto o alcance é máximo quando \theta=45^\circ.

Passo 7

(Alternativa — método com derivada, só para ver outra técnica) Se preferir usar cálculo, derive R(\theta)=\dfrac{v_{0}^{2}}{g}\sin(2\theta) e iguale a zero:
\frac{dR}{d\theta}=\frac{v_{0}^{2}}{g}\cdot 2\cos(2\theta)=0 \quad\Rightarrow\quad \cos(2\theta)=0,
daí 2\theta=\tfrac{\pi}{2} (no mínimo ou máximo relevante), levando a \theta=\tfrac{\pi}{4}. Verificar segunda derivada confirma máximo.

Passo 8

Para a altura máxima \,y_{\text{max}}\, usamos o movimento vertical. A velocidade vertical em função do tempo é
v_{y}(t)=v_{0}\sin\theta - g\,t.
No topo da trajetória a velocidade vertical é zero, v_{y}(t_{\text{top}})=0. Resolvendo:
0=v_{0}\sin\theta - g\,t_{\text{top}}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{top}}=\frac{v_{0}\sin\theta}{g}.

Passo 9

Substituímos t_{\text{top}} na expressão de y(t) para obter a altura máxima. Usando y(t)=v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2} e t=t_{\text{top}}=\dfrac{v_{0}\sin\theta}{g}:
y_{\text{max}} = v_{0}\sin\theta\cdot\frac{v_{0}\sin\theta}{g} - \tfrac{1}{2}g\left(\frac{v_{0}\sin\theta}{g}\right)^{2}.
Calculemos passo a passo:
y_{\text{max}} = \frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{g} - \frac{1}{2}g\cdot\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{g^{2}} = \frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{g} - \frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g} = \frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta}{2g}.
Se na parte (c) o enunciado usa \theta_{0} para o ângulo inicial, só substituir \theta por \theta_{0} na expressão final:
y_{\text{max}}=\frac{\bigl(v_{0}\sin\theta_{0}\bigr)^{2}}{2g}.

Resposta

(a) \displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}.
(b) \displaystyle \theta=\frac{\pi}{4} (ou \theta=45^\circ).
(c) \displaystyle y_{\text{max}}=\frac{\bigl(v_{0}\operatorname{sen}\theta_{0}\bigr)^{2}}{2g}.

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