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Ed). Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de
em direção a um ponto P , o centro de um alvo de parede. O dardo atinge um ponto Q do alvo, verticalmente abaixo de P , em um tempo
depois do arremesso. (a) Qual é a distância PQ ? (b) A que distância do alvo foi arremessado o dardo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Foi arremessado um dardo horizontalmente com velocidade inicial
. - O dardo foi lançado em direção ao ponto
, que é o centro do alvo (na parede). - O dardo atinge o ponto
do alvo, que está verticalmente abaixo de , após um tempo desde o arremesso. - Pergunta (a): Qual é a distância
(ou seja, quanto o dardo caiu verticalmente)? - Pergunta (b): A que distância do alvo (na horizontal) foi arremessado o dardo (ou seja, qual é a distância entre o ponto de lançamento e a parede)?
Informações úteis implícitas que vamos usar (não pedirei nada ao usuário):
- Tomaremos a aceleração da gravidade como
, constante e vertical para baixo. - Desprezamos resistência do ar.
- No instante do lançamento a componente vertical da velocidade é zero (pois o lançamento é horizontal).
Passo 2
Escolhemos um sistema de referência para escrever as equações de movimento de modo claro:
- Eixo
: horizontal, apontando do lançador em direção à parede (positiva para frente). - Eixo
: vertical, positivo para cima. - No instante
(lançamento) tomamos a posição do dardo como . - Componentes da velocidade inicial:
e .
Agora vou escrever as equações do movimento para cada direção, explicando as fórmulas que uso.
Passo 3
A equação do movimento vertical (com aceleração constante) é a seguinte fórmula básica:
Explicando cada termo:
-
é a posição vertical do dardo no tempo . -
é a posição vertical inicial (aqui ). -
é a componente vertical da velocidade inicial (aqui porque o lançamento é horizontal). -
é a aceleração vertical; sob gravidade (negativa porque escolhemos positivo para cima).
Substituindo os valores:
Isto significa que, após tempo
, o dardo está abaixo do ponto de lançamento por uma distância cujo valor absoluto é
.
Como
está verticalmente abaixo de
, a queda
(um comprimento positivo) é
Breve interpretação: essa é a fórmula clássica da queda livre quando a velocidade vertical inicial é zero — a distância percorrida é proporcional a
e ao meio da aceleração.
Passo 4
Agora o movimento horizontal. Com aceleração horizontal nula (desprezando resistência do ar), a equação é
Explicando:
-
é a posição horizontal no tempo . -
é a posição inicial horizontal (aqui ). -
é a componente horizontal da velocidade inicial (aqui ).
Substituindo:
Como o dardo atinge a parede (o alvo) no tempo
, a distância horizontal entre o ponto de lançamento e a parede é exatamente a posição horizontal
naquele instante. Portanto a distância do lançador ao alvo é
Passo 5
Resumo final e observações práticas:
- A expressão para
é independente de : a queda vertical só depende do tempo de voo e da gravidade . - A distância horizontal até o alvo depende linearmente de
e de . - Unidades: se
está em metros por segundo e em segundos, então estará em metros (pois tem unidades de ) e a distância horizontal também estará em metros. - Se quiser um valor numérico para
usando , basta substituir na fórmula .