21 ( 10^{\mathrm{a}} Ed). Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de v_{0} em direção a um ponto P , o centro de um alvo de parede. O dardo atinge um ponto Q do alvo, verticalmente abaixo de P , em um tempo t depois do arremesso. (a) Qual é a distância PQ ? (b) A que distância do alvo foi arremessado o dardo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Foi arremessado um dardo horizontalmente com velocidade inicial \,v_{0}\,.
  • O dardo foi lançado em direção ao ponto P, que é o centro do alvo (na parede).
  • O dardo atinge o ponto Q do alvo, que está verticalmente abaixo de P, após um tempo \,t\, desde o arremesso.
  • Pergunta (a): Qual é a distância PQ (ou seja, quanto o dardo caiu verticalmente)?
  • Pergunta (b): A que distância do alvo (na horizontal) foi arremessado o dardo (ou seja, qual é a distância entre o ponto de lançamento e a parede)?
Informações úteis implícitas que vamos usar (não pedirei nada ao usuário):
  • Tomaremos a aceleração da gravidade como \,g, constante e vertical para baixo.
  • Desprezamos resistência do ar.
  • No instante do lançamento a componente vertical da velocidade é zero (pois o lançamento é horizontal).

Passo 2

Escolhemos um sistema de referência para escrever as equações de movimento de modo claro:
  • Eixo x: horizontal, apontando do lançador em direção à parede (positiva para frente).
  • Eixo y: vertical, positivo para cima.
  • No instante t=0 (lançamento) tomamos a posição do dardo como (x_0,y_0)=(0,0).
  • Componentes da velocidade inicial: \,v_{x0}=v_0 e \,v_{y0}=0.
Agora vou escrever as equações do movimento para cada direção, explicando as fórmulas que uso.

Passo 3

A equação do movimento vertical (com aceleração constante) é a seguinte fórmula básica:
y(t)=y_0+v_{y0}\,t+\tfrac{1}{2}a_y\,t^2.
Explicando cada termo:
  • \,y(t) é a posição vertical do dardo no tempo t.
  • \,y_0 é a posição vertical inicial (aqui y_0=0).
  • \,v_{y0} é a componente vertical da velocidade inicial (aqui v_{y0}=0 porque o lançamento é horizontal).
  • \,a_y é a aceleração vertical; sob gravidade a_y=-g (negativa porque escolhemos y positivo para cima).
    Substituindo os valores:
y(t)=0 + 0\cdot t + \tfrac{1}{2}(-g)\,t^2 = -\tfrac{1}{2}g\,t^2.
Isto significa que, após tempo t, o dardo está abaixo do ponto de lançamento por uma distância cujo valor absoluto é \tfrac{1}{2}g\,t^2.
Como Q está verticalmente abaixo de P, a queda PQ (um comprimento positivo) é
PQ=\tfrac{1}{2}g\,t^2.
Breve interpretação: essa é a fórmula clássica da queda livre quando a velocidade vertical inicial é zero — a distância percorrida é proporcional a t^2 e ao meio da aceleração.

Passo 4

Agora o movimento horizontal. Com aceleração horizontal nula (desprezando resistência do ar), a equação é
x(t)=x_0+v_{x0}\,t.
Explicando:
  • \,x(t) é a posição horizontal no tempo t.
  • \,x_0 é a posição inicial horizontal (aqui x_0=0).
  • \,v_{x0} é a componente horizontal da velocidade inicial (aqui v_{x0}=v_0).
    Substituindo:
x(t)=0+v_0\,t = v_0\,t.
Como o dardo atinge a parede (o alvo) no tempo t, a distância horizontal entre o ponto de lançamento e a parede é exatamente a posição horizontal x(t) naquele instante. Portanto a distância do lançador ao alvo é
\text{distância ao alvo} = v_0\,t.â

Passo 5

Resumo final e observações práticas:
  • A expressão para PQ é independente de v_0: a queda vertical só depende do tempo de voo t e da gravidade g.
  • A distância horizontal até o alvo depende linearmente de v_0 e de t.
  • Unidades: se v_0 está em metros por segundo e t em segundos, então PQ estará em metros (pois g tem unidades de \mathrm{m/s^2}) e a distância horizontal v_0 t também estará em metros.
  • Se quiser um valor numérico para PQ usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, basta substituir na fórmula \tfrac{1}{2}g t^2.

Resposta

PQ=\dfrac{1}{2}\,g\,t^{2}
\text{distância ao alvo}=v_{0}\,tâ

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