Um projétil é lançado verticalmente para cima \operatorname{com} v_{0}=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a partir do solo. Determine: (a) o tempo de subida; (b) a altura máxima; (c) o tempo total de voo.

Passo 1

O enunciado diz: um projétil é lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial \,v_{0}=30\\ \mathrm{m/s}\,. Pede-se:
(a) o tempo de subida (tempo até atingir a altura máxima);
(b) a altura máxima atingida;
(c) o tempo total de voo (tempo até retornar ao solo).
Informações relevantes dadas e hipóteses que faremos (implícitas no enunciado): \,v_{0}=30\\ \mathrm{m/s}\,, posição inicial \,y_{0}=0\\ \mathrm{m}\, (começa no solo), desprezamos resistência do ar e usamos a aceleração da gravidade como constante \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\, apontando para baixo.

Passo 2

Modelagem física e fórmulas básicas — explico do zero, passo a passo.
Quando um corpo sobe verticalmente sob ação só da gravidade, a aceleração é constante e igual a -g (negativa porque aponta para baixo). Chamando v(t) a velocidade no instante t e y(t) a altura no instante t, integramos a aceleração para obter as equações do movimento:
a(t)=-g
Integrando a(t) em relação a t obtemos a velocidade:
v(t)=v_{0}-g\,t.
Aqui \,v(t)\, é a velocidade no tempo t, \,v_{0}\, é a velocidade inicial e \,g\, é a aceleração da gravidade.
Integrando novamente a velocidade, obtemos a posição (altura) em função do tempo:
y(t)=y_{0}+v_{0}t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.
Aqui \,y_{0}\, é a posição inicial (no problema \,y_{0}=0). Essas duas fórmulas são as ferramentas que vamos usar.

Passo 3

(a) Determinar o tempo de subida.
No instante em que o projétil atinge a altura máxima, a velocidade instantânea é nula: v(t_{\text{subida}})=0. Use a fórmula da velocidade:
0=v_{0}-g\,t_{\text{subida}}.
Resolve-se para t_{\text{subida}}:
t_{\text{subida}}=\frac{v_{0}}{g}.
Substituindo numericamente \,v_{0}=30\\ \mathrm{m/s}\, e \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\,:
t_{\text{subida}}=\frac{30}{9,8}.
Faço a divisão: \,30\div 9,8 \approx 3,06122449\ldots Arredondando com duas casas decimais (suficiente para prova):
t_{\text{subida}}\approx 3,06\\ \mathrm{s}.

Passo 4

(b) Determinar a altura máxima. Vou mostrar uma maneira clara e automática: usar a expressão de y(t) no instante de subida ou uma fórmula alternativa. Usando y(t) com t=t_{\text{subida}}:
y_{\max}=y_{0}+v_{0}t_{\text{subida}}-\tfrac{1}{2}g t_{\text{subida}}^{2}.
Como y_{0}=0 e t_{\text{subida}}=\dfrac{v_{0}}{g}, substituo:
y_{\max}=v_{0}\left(\frac{v_{0}}{g}\right)-\tfrac{1}{2}g\left(\frac{v_{0}}{g}\right)^{2}.
Faço a álgebra:
y_{\max}=\frac{v_{0}^{2}}{g}-\frac{1}{2}\frac{v_{0}^{2}}{g}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}.
Explicação rápida: isso é uma forma padrão — a energia cinética inicial transformada em energia potencial; mas aqui derivamos só com cinemática. Agora substituo numericamente \,v_{0}=30\\ \mathrm{m/s}\, e \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\,:
y_{\max}=\frac{30^{2}}{2\cdot 9,8}=\frac{900}{19,6}.
Faço a divisão: 900\div 19,6 \approx 45,9183673\ldots Arredondando com duas casas decimais:
y_{\max}\approx 45,92\\ \mathrm{m}.
Como verificação rápida, poderia usar y_{\max}=v_{0}t_{\text{subida}}-\tfrac{1}{2}g t_{\text{subida}}^{2} com t_{\text{subida}} calculado antes; dá o mesmo resultado — é um bom modo de checar suas contas durante a prova.

Passo 5

(c) Determinar o tempo total de voo.
Em movimento vertical sem resistência do ar, a subida e a descida são simétricas: o tempo de descida (do topo até voltar ao solo) é igual ao tempo de subida. Portanto o tempo total é:
t_{\text{total}}=2\,t_{\text{subida}}=2\cdot\frac{v_{0}}{g}.
Substituindo números:
t_{\text{total}}=\frac{2\cdot 30}{9,8}=\frac{60}{9,8}\approx 6,12244898\ldots
Arredondando com duas casas decimais:
t_{\text{total}}\approx 6,12\\ \mathrm{s}.
Alternativa (caso precise mostrar resolução algébrica na prova): igualar y(t)=0 (posição ao voltar ao solo) e resolver a equação quadrática
0=v_{0}t-\tfrac{1}{2}g t^{2}=t\left(v_{0}-\tfrac{1}{2}g t\right),
que fornece as raízes t=0 (lançamento) e t=\dfrac{2v_{0}}{g} (retorno ao solo), mesma expressão que usamos acima.

Passo 6

Pequeno resumo e incentivo: fizemos tudo com as fórmulas básicas v(t)=v_{0}-g t e y(t)=y_{0}+v_{0}t-\tfrac{1}{2}g t^{2}. Na prova, memorizando essas duas e sabendo que no topo v=0, você resolve (a) e (b) rapidinho; (c) sai da simetria ou da resolução da quadrática. Você está indo bem — respira, resolve passo a passo e confere com uma verificação rápida (por exemplo, t_{\text{total}}=2t_{\text{subida}}).

Resposta

(a) t_{\text{subida}}\approx 3,06\\ \mathrm{s}
(b) y_{\max}\approx 45,92\\ \mathrm{m}
(c) t_{\text{total}}\approx 6,12\\ \mathrm{s}

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