Um projétil é lançado verticalmente para cima
a partir do solo. Determine: (a) o tempo de subida; (b) a altura máxima; (c) o tempo total de voo.
Passo 1
O enunciado diz: um projétil é lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial
. Pede-se:
(a) o tempo de subida (tempo até atingir a altura máxima);
(b) a altura máxima atingida;
(c) o tempo total de voo (tempo até retornar ao solo).
Informações relevantes dadas e hipóteses que faremos (implícitas no enunciado): , posição inicial
(começa no solo), desprezamos resistência do ar e usamos a aceleração da gravidade como constante
apontando para baixo.
(a) o tempo de subida (tempo até atingir a altura máxima);
(b) a altura máxima atingida;
(c) o tempo total de voo (tempo até retornar ao solo).
Informações relevantes dadas e hipóteses que faremos (implícitas no enunciado):
Passo 2
Modelagem física e fórmulas básicas — explico do zero, passo a passo.
Quando um corpo sobe verticalmente sob ação só da gravidade, a aceleração é constante e igual a (negativa porque aponta para baixo). Chamando
a velocidade no instante
e
a altura no instante
, integramos a aceleração para obter as equações do movimento:
Quando um corpo sobe verticalmente sob ação só da gravidade, a aceleração é constante e igual a
Integrando
em relação a
obtemos a velocidade:
Aqui
é a velocidade no tempo
,
é a velocidade inicial e
é a aceleração da gravidade.
Integrando novamente a velocidade, obtemos a posição (altura) em função do tempo:
Integrando novamente a velocidade, obtemos a posição (altura) em função do tempo:
Aqui
é a posição inicial (no problema
). Essas duas fórmulas são as ferramentas que vamos usar.
Passo 3
(a) Determinar o tempo de subida.
No instante em que o projétil atinge a altura máxima, a velocidade instantânea é nula: . Use a fórmula da velocidade:
No instante em que o projétil atinge a altura máxima, a velocidade instantânea é nula:
Resolve-se para
:
Substituindo numericamente
e
:
Faço a divisão:
Arredondando com duas casas decimais (suficiente para prova):
Passo 4
(b) Determinar a altura máxima. Vou mostrar uma maneira clara e automática: usar a expressão de
no instante de subida ou uma fórmula alternativa. Usando
com
:
Como
e
, substituo:
Faço a álgebra:
Explicação rápida: isso é uma forma padrão — a energia cinética inicial transformada em energia potencial; mas aqui derivamos só com cinemática. Agora substituo numericamente
e
:
Faço a divisão:
Arredondando com duas casas decimais:
Como verificação rápida, poderia usar
com
calculado antes; dá o mesmo resultado — é um bom modo de checar suas contas durante a prova.
Passo 5
(c) Determinar o tempo total de voo.
Em movimento vertical sem resistência do ar, a subida e a descida são simétricas: o tempo de descida (do topo até voltar ao solo) é igual ao tempo de subida. Portanto o tempo total é:
Em movimento vertical sem resistência do ar, a subida e a descida são simétricas: o tempo de descida (do topo até voltar ao solo) é igual ao tempo de subida. Portanto o tempo total é:
Substituindo números:
Arredondando com duas casas decimais:
Alternativa (caso precise mostrar resolução algébrica na prova): igualar
(posição ao voltar ao solo) e resolver a equação quadrática
que fornece as raízes
(lançamento) e
(retorno ao solo), mesma expressão que usamos acima.
Passo 6
Pequeno resumo e incentivo: fizemos tudo com as fórmulas básicas
e
. Na prova, memorizando essas duas e sabendo que no topo
, você resolve (a) e (b) rapidinho; (c) sai da simetria ou da resolução da quadrática. Você está indo bem — respira, resolve passo a passo e confere com uma verificação rápida (por exemplo,
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)