Quando você se pesa, seu peso verdadeiro P é maior do que a leitura acusada pela balança P^{\prime}, em razão do empuxo do ar. Determine a magnitude do fator de correção f em P=f P^{\prime}. Suponha que sua densidade é a da água ( \rho_{a r}=1,29 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \rho_{H_{2} O}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o fator de correção f tal que a massa verdadeira convertida em peso P se relaciona com a leitura da balança P' por
P = f\,P'.
Informações fornecidas no enunciado:
\rho_{\text{ar}} = 1{,}29\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_{H_{2}O}=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3},
e nos é dito para supor que a densidade do corpo (sua densidade) é a da água, ou seja
\rho_{\text{corpo}} = 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Não há outros dados numéricos (como sua massa ou volume) — portanto o fator f deve ser expresso usando somente essas densidades.

Passo 2

Vamos entender fisicamente o que a balança mede. A força peso verdadeira é a força gravitacional sobre o corpo:
P = m g,
onde m é a massa do corpo e g é a aceleração da gravidade. Entretanto, estando o corpo no ar ele sofre uma força de empuxo para cima (princípio de Arquimedes) igual ao peso do ar deslocado. Essa força de empuxo é
F_{\text{empuxo}} = \rho_{\text{ar}} V g,
onde V é o volume do corpo e \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar. Expliquei: o empuxo depende da densidade do fluido (aqui ar), do volume deslocado e de g.

Passo 3

A balança, que mede a força que o chão precisa exercer para suportar o corpo, registra o peso aparente P', que é o peso real menos o empuxo:
P' = P - F_{\text{empuxo}}.
Vou reescrever isso substituindo P=mg e F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{ar}} V g:
P' = m g - \rho_{\text{ar}} V g.

Passo 4

Agora relacionamos massa e volume usando a densidade do corpo. A definição de densidade é
\rho_{\text{corpo}} = \frac{m}{V}\quad\Longrightarrow\quad m = \rho_{\text{corpo}}\,V.
Substituindo m em P e em P':
P = m g = \rho_{\text{corpo}} V g,
P' = \rho_{\text{corpo}} V g - \rho_{\text{ar}} V g = (\rho_{\text{corpo}} - \rho_{\text{ar}})\,V g.

Passo 5

O fator de correção f é dado por
f=\frac{P}{P'}.
Usando as expressões obtidas:
f=\frac{\rho_{\text{corpo}} V g}{(\rho_{\text{corpo}} - \rho_{\text{ar}})\,V g}.
Cancelam V e g, ficando uma expressão só em densidades:
f=\frac{\rho_{\text{corpo}}}{\rho_{\text{corpo}} - \rho_{\text{ar}}}.
Expliquei: isso faz sentido — o fator depende apenas de quão próximo a densidade do corpo está da densidade do ar.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos dados: \rho_{\text{corpo}}=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3} e \rho_{\text{ar}}=1{,}29\\ \mathrm{kg/m^3}.
Calcule o denominador:
\rho_{\text{corpo}}-\rho_{\text{ar}}=1000-1{,}29=998{,}71\\ \mathrm{kg/m^3}.
Portanto
f=\frac{1000}{998{,}71}.
Fazendo a divisão (ou usando a aproximação em série 1/(1-\varepsilon)\approx1+\varepsilon para \varepsilon pequeno), obtemos
f\approx 1{,}001291\ldots
Arredondando razoavelmente, f\approx 1{,}00129. Em termos percentuais a correção é
(f-1)\times100\%\approx 0{,}129\%.

Passo 7

Interpretação prática: a balança subestima o peso verdadeiro em cerca de 0{,}129\% quando assumimos densidade do corpo igual à da água. Para corrigir a leitura da balança basta multiplicar P' por f obtido acima.

Resposta

f=\dfrac{1000}{1000-1{,}29}\approx 1{,}00129

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