Um projetil de massa m é disparado por um canhão na direção vertical, para cima, com velocidade inicial u0=v0 k. Determine (a) o momento angular e (b) o torque exercido pela força gravitacional em função do tempo, em relação a um observador localizado a uma distância d do canhão, mas no mesmo nível

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um projetil de massa é lançado verticalmente pra cima com velocidade inicial . A gente precisa achar, em função do tempo e em relação a um observador que está a uma distância do canhão (e no mesmo nível):
a) o momento angular ;
b) o torque da força da gravidade.
Conteúdo que vamos usar:
  • Definição de momento angular .
  • Definição de torque .
  • Produto vetorial (cross product) e as regras básicas ( , etc).
  • Cinemática do movimento vertical com aceleração da gravidade: .

Passo 2

Definindo vetores:
  1. Posição do projétil em relação ao observador: se o canhão está na origem vec r(t) = l(0 - d,r),i + 0,j + z(t),k = -d,i + z(t),k e o observador em vz(t)=v0 - g,t, , então o vetor posição do projétil (que está em com ) é
  1. Velocidade vertical do projétil:
logo o vetor momento

Passo 3

(a) Cálculo do momento angular vec r = -d,i + z,k, vec p = m(v0 - g,t),k .
vec L = (-d,i) times l[m(v0 - g,t),kr] = -d,m(v0 - g,t),(itimesk) = -d,m(v0 - g,t),(-j) = d,ml(v0 - g,tr),j
Só o termo cruzando com dá algo não nulo. Usando :

Passo 4

(b) Cálculo do torque da gravidade vec tau = (-d,i + z,k) times l[-m g,kr] .
A força gravitacional é vec tau = -d,itimes(-m g,k) = d,m g,(itimesk) = d,m g,(-j) = -,d,m,g;j .
De novo, só contribui. Com :
Isso é constante no tempo.

Resposta

a)
b)

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