Um projetista necessita determinar o comprimento " L " de um pistão. Sabe-se que o pistão, com peso
, cai dentro de um cilindro com uma velocidade constante de
. O diâmetro do cilindro é
e o do pistão é de
e que a viscosidade relativa e a viscosidade cinemática do óleo são, respectivamente, 0,79578 e 8,33 x 10
.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que um pistão de peso G = 10 N desce dentro de um cilindro com velocidade constante U = 3 m/s. O cilindro tem diâmetro D = 10,1 cm, o pistão d = 10,0 cm, e o óleo tem densidade relativa 0,79578 e viscosidade cinemática ν = 8,33×10⁻⁵ m²/s. Como a velocidade é constante, a força de peso é exatamente equilibrada pela força de atrito viscoso. Vamos usar conceitos de escoamento laminar e “lubrificação” (gap estreito) para achar o comprimento L do pistão que gera esse atrito. Precisamos de:
• converter densidade relativa em ρ e depois achar μ = ρ·ν
• achar a espessura do “gap” h = (D–d)/2
• usar a fórmula de tensão de cisalhamento τ = μ·U/h e força de atrito F = τ·(área lateral)
• converter densidade relativa em ρ e depois achar μ = ρ·ν
• achar a espessura do “gap” h = (D–d)/2
• usar a fórmula de tensão de cisalhamento τ = μ·U/h e força de atrito F = τ·(área lateral)
Passo 2
Calcular densidade e viscosidade dinâmica:
ρ = 0,79578·1000 = 795,78 kg/m³
μ = ρ·ν = 795,78·8,33×10⁻⁵ ≈ 0,0663 Pa·s
ρ = 0,79578·1000 = 795,78 kg/m³
μ = ρ·ν = 795,78·8,33×10⁻⁵ ≈ 0,0663 Pa·s
Passo 3
Determinar geometria do gap e área lateral do pistão:
D = 0,101 m, d = 0,100 m ⇒ h = (D – d)/2 = (0,101 – 0,100)/2 = 0,0005 m
raio médio r = d/2 = 0,050 m
área lateral A = 2·π·r·L = 2π(0,050)L = 0,31416·L
D = 0,101 m, d = 0,100 m ⇒ h = (D – d)/2 = (0,101 – 0,100)/2 = 0,0005 m
raio médio r = d/2 = 0,050 m
área lateral A = 2·π·r·L = 2π(0,050)L = 0,31416·L
Passo 4
Força de atrito viscoso:
τ = μ·U/h
F_atrito = τ·A = (μ·U/h)·(2πrL)
Como em regime constante F_atrito = peso G, temos:
G = (μ·U/h)·(2πrL)
τ = μ·U/h
F_atrito = τ·A = (μ·U/h)·(2πrL)
Como em regime constante F_atrito = peso G, temos:
G = (μ·U/h)·(2πrL)
Passo 5
Isolando L:
L = G·h
--------------
2πr·μ·U
L = G·h
--------------
2πr·μ·U
Substituindo números:
L = 10·(0,0005)
----------------
2·π·0,050·0,0663·3
L = 10·(0,0005)
----------------
2·π·0,050·0,0663·3
L ≈ 0,08 m
Resposta
L ≈ 0,08 m (8 cm)