Projeto de Barragem: Uma estrutura de contenção possui massa m=1 e rigidez do solo k=25. Qual deve ser o amortecimento \gamma exato adicionado pelos engenheiros para que não ocorram oscilações em caso de impacto (Amortecimento Crítico)?

Passo 1

O enunciado pede para determinar o amortecimento exato que deve ser adicionado para que não ocorram oscilações (amortecimento crítico). As informações fornecidas são:
  • Massa: m=1.
  • Rigidez do solo (constante elástica): k=25.
    A pergunta única é: qual deve ser o valor de \gamma para que o sistema fique criticamente amortecido (ou seja, sem oscilações após um impacto)?

Passo 2

Modelo físico e equação do movimento. Após um impacto o bloco + estrutura vibra livremente num sistema massa-mola-amortecedor. A equação diferencial que descreve esse sistema é
m\,\ddot{x} + \gamma\,\dot{x} + k\,x = 0,
onde:
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo;
  • \dot{x} é a velocidade ( dx/dt);
  • \ddot{x} é a aceleração ( d^2x/dt^2);
  • m é a massa;
  • \gamma é o coeficiente de amortecimento viscoso (unidade típica: \mathrm{kg/s});
  • k é a rigidez da mola (unidade típica: \mathrm{N/m} ou \mathrm{kg/s^2} quando adaptada).
    Explicando de forma simples: a segunda derivada representa a inércia, o termo com \gamma representa a força resistiva proporcional à velocidade, e o termo com k é a força restauradora da mola.

Passo 3

Solução típica: assumimos uma solução do tipo x(t)=e^{r t}. Substituindo na equação obtemos a equação característica
m\,r^{2} + \gamma\,r + k = 0.
Isso é uma equação quadrática em r. As raízes r determinam o comportamento temporal:
  • se as raízes são complexas (parte discriminante negativa) há oscilação (amortecimento subcrítico);
  • se as raízes são reais e iguais (discriminante zero) o sistema é criticamente amortecido (não oscila e volta o mais rápido possível ao equilíbrio sem oscilar);
  • se as raízes são reais distintas (discriminante positiva) é sobreamortecido (não oscila, mas retorna mais lentamente).

Passo 4

Cálculo da condição de amortecimento crítico. O discriminante da quadrática é
\Delta = \gamma^{2} - 4 m k.
A condição de amortecimento crítico é \Delta=0. Portanto:
\gamma^{2} - 4 m k = 0.
Resolvendo para \gamma:
\gamma^{2} = 4 m k \quad\Rightarrow\quad \gamma = 2\sqrt{m k}.
Esta fórmula é fundamental: \gamma_{\text{cr}} = 2\sqrt{m k}. Significado: é o valor do coeficiente de amortecimento que coloca as raízes da equação característica exatamente iguais, evitando qualquer parte oscilatória.

Passo 5

Aplicando os números do enunciado. Substituindo m=1 e k=25 na expressão:
\gamma_{\text{cr}} = 2\sqrt{m k} = 2\sqrt{1\cdot 25} = 2\sqrt{25} = 2\cdot 5 = 10.
Unidade prática: se m está em \mathrm{kg} e k em \mathrm{N/m}, então \gamma fica em \mathrm{kg/s}. Aqui o valor numérico é \,10.

Passo 6

Interpretação e dica para prova. Com \gamma=10 o sistema é criticamente amortecido: após um impacto ele retorna ao equilíbrio sem oscilar e o faz o mais rápido possível dentre todas as respostas não oscilatórias. Se em prova aparecer \gamma<10 haverá oscilações amortecidas (subcrítico). Se \gamma>10 não haverá oscilações, porém a volta ao equilíbrio será mais lenta (sobreamortecido). Uma forma prática de decorar: na massa-mola-amortecedor linear
\gamma_{\text{cr}}=2\sqrt{m k}.
Guarda essa fórmula — cai bastante em prova.

Resposta

\gamma=10

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