Projeto de Barragem: Uma estrutura de contenção possui massa
e rigidez do solo
. Qual deve ser o amortecimento
exato adicionado pelos engenheiros para que não ocorram oscilações em caso de impacto (Amortecimento Crítico)?
Passo 1
O enunciado pede para determinar o amortecimento exato que deve ser adicionado para que não ocorram oscilações (amortecimento crítico). As informações fornecidas são:
- Massa:
. - Rigidez do solo (constante elástica):
.
A pergunta única é: qual deve ser o valor depara que o sistema fique criticamente amortecido (ou seja, sem oscilações após um impacto)?
Passo 2
Modelo físico e equação do movimento. Após um impacto o bloco + estrutura vibra livremente num sistema massa-mola-amortecedor. A equação diferencial que descreve esse sistema é
onde:
-
é o deslocamento em função do tempo; -
é a velocidade ( ); -
é a aceleração ( ); -
é a massa; -
é o coeficiente de amortecimento viscoso (unidade típica: ); -
é a rigidez da mola (unidade típica: ou quando adaptada).
Explicando de forma simples: a segunda derivada representa a inércia, o termo comrepresenta a força resistiva proporcional à velocidade, e o termo com é a força restauradora da mola.
Passo 3
Solução típica: assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação obtemos a equação característica
Isso é uma equação quadrática em
. As raízes
determinam o comportamento temporal:
- se as raízes são complexas (parte discriminante negativa) há oscilação (amortecimento subcrítico);
- se as raízes são reais e iguais (discriminante zero) o sistema é criticamente amortecido (não oscila e volta o mais rápido possível ao equilíbrio sem oscilar);
- se as raízes são reais distintas (discriminante positiva) é sobreamortecido (não oscila, mas retorna mais lentamente).
Passo 4
Cálculo da condição de amortecimento crítico. O discriminante da quadrática é
A condição de amortecimento crítico é
. Portanto:
Resolvendo para
:
Esta fórmula é fundamental:
. Significado: é o valor do coeficiente de amortecimento que coloca as raízes da equação característica exatamente iguais, evitando qualquer parte oscilatória.
Passo 5
Aplicando os números do enunciado. Substituindo
e
na expressão:
Unidade prática: se
está em
e
em
, então
fica em
. Aqui o valor numérico é
.
Passo 6
Interpretação e dica para prova. Com
o sistema é criticamente amortecido: após um impacto ele retorna ao equilíbrio sem oscilar e o faz o mais rápido possível dentre todas as respostas não oscilatórias. Se em prova aparecer
haverá oscilações amortecidas (subcrítico). Se
não haverá oscilações, porém a volta ao equilíbrio será mais lenta (sobreamortecido). Uma forma prática de decorar: na massa-mola-amortecedor linear
Guarda essa fórmula — cai bastante em prova.