Para cada sistema estrutural abaixo, encontre as raízes da equação característica e diga se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
e pede duas coisas:
- encontrar as raízes da equação característica associada;
- dizer se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
Informações dadas que vamos usar:
- coeficiente do termo
é ; - coeficiente do termo
é ; - coeficiente do termo
é .
Passo 2
Método padrão para essas equações: tentar uma solução do tipo
, porque exponenciais transformam derivadas em multiplicações por
. Explicando de forma simples:
- se
então e ; - substituindo na equação, como
nunca é zero, obtemos uma equação algébrica para , chamada equação característica.
Passo 3
Aplicando a substituição
e cancelando o fator
, obtemos a equação característica
Aqui
é a incógnita que determina o comportamento das soluções da EDO.
Passo 4
Calcular o discriminante da quadrática para saber o tipo de raízes:
Breve lembrete: o sinal de
determina o tipo de raízes:
-
duas raízes reais distintas (superamortecida); -
raiz real dupla (criticamente amortecida); -
raízes complexas conjugadas (subamortecida).
Passo 5
Como
, usamos a fórmula de Bhaskara com raiz quadrada complexa:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 6
Interpretação e forma geral da solução real associada: para raízes complexas conjugadas
, a solução geral real da EDO é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Isso mostra que a resposta é oscilatória (seno e cosseno) multiplicada por um decaimento exponencial
— ou seja, oscilações amortecidas.
Passo 7
Classificação pelo amortecimento: como
(raízes complexas com parte real negativa), o sistema é do tipo Subamortecido. Outra forma de ver: escrever a equação na forma padrão
. Aqui
e
, logo
confirma Subamortecida.
Resposta
Raízes:
Classificação: Subamortecida
Classificação: Subamortecida