Para cada sistema estrutural abaixo, encontre as raízes da equação característica e diga se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+10 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' + 10y = 0
e pede duas coisas:
  • encontrar as raízes da equação característica associada;
  • dizer se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
Informações dadas que vamos usar:
  • coeficiente do termo y'' é 1;
  • coeficiente do termo y' é 2;
  • coeficiente do termo y é 10.

Passo 2

Método padrão para essas equações: tentar uma solução do tipo y(t)=e^{rt}, porque exponenciais transformam derivadas em multiplicações por r. Explicando de forma simples:
  • se y(t)=e^{rt} então y'(t)=r e^{rt} e y''(t)=r^2 e^{rt};
  • substituindo na equação, como e^{rt} nunca é zero, obtemos uma equação algébrica para r, chamada equação característica.

Passo 3

Aplicando a substituição y=e^{rt} e cancelando o fator e^{rt}, obtemos a equação característica
r^{2}+2r+10=0.
Aqui r é a incógnita que determina o comportamento das soluções da EDO.

Passo 4

Calcular o discriminante da quadrática para saber o tipo de raízes:
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot 1\cdot 10 = 4-40 = -36.
Breve lembrete: o sinal de \Delta determina o tipo de raízes:
  • \Delta>0 \Rightarrow duas raízes reais distintas (superamortecida);
  • \Delta=0 \Rightarrow raiz real dupla (criticamente amortecida);
  • \Delta<0 \Rightarrow raízes complexas conjugadas (subamortecida).

Passo 5

Como \Delta=-36<0, usamos a fórmula de Bhaskara com raiz quadrada complexa:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-2 \pm 6\mathrm{i}}{2} = -1 \pm 3\mathrm{i}.
Portanto as raízes são \,r=-1+3\mathrm{i} e \,r=-1-3\mathrm{i}.

Passo 6

Interpretação e forma geral da solução real associada: para raízes complexas conjugadas -1\pm3\mathrm{i}, a solução geral real da EDO é
y(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais. Isso mostra que a resposta é oscilatória (seno e cosseno) multiplicada por um decaimento exponencial e^{-t} — ou seja, oscilações amortecidas.

Passo 7

Classificação pelo amortecimento: como \Delta<0 (raízes complexas com parte real negativa), o sistema é do tipo Subamortecido. Outra forma de ver: escrever a equação na forma padrão \,y''+2\zeta\omega_n y'+\omega_n^{2}y=0. Aqui \omega_n^{2}=10\Rightarrow\omega_n=\sqrt{10} e 2\zeta\omega_n=2\Rightarrow\zeta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\approx0{,}316<1, logo \zeta<1 confirma Subamortecida.

Resposta

Raízes: r=-1\pm 3\mathrm{i}
Classificação: Subamortecida

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