Um projeto de construção exige a escavação de um terreno para a fundação de um edifício. O terreno escavado tem a forma de um paralelepípedo irregular, definido pelos seguintes vetores dados em metros que representam suas arestas: u=(3,2,1), v=(1,4,2) e w=(2,1,5). Calcule o volume de terra a ser removido do terreno.

Passo 1

O enunciado descreve um paralelepípedo irregular cujas arestas são dadas pelos vetores u=(3,2,1), v=(1,4,2) e w=(2,1,5). Para calcular o volume usamos o produto misto, isto é
Volume = l|ucdot(vtimesw)r|

Passo 2

Calcular o produto vetorial vtimesw:
vtimesw = i & j & k 1 & 4 & 2 2 & 1 & 5 =(4cdot5-2cdot1),i -,(1cdot5-2cdot2),j +,(1cdot1-4cdot2),k =(18,-1,-7)

Passo 3

Fazer o produto escalar ucdot(vtimesw):
ucdot(18,-1,-7) =3cdot18 + 2cdot(-1) + 1cdot(-7) =54 - 2 - 7 =45

Passo 4

Como o volume é o valor absoluto desse resultado, temos
Volume = |45| = 45 m^3

Resposta

O volume de terra a ser removido é 45 metros cúbicos.

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