Durante o planejamento da instalação de tanques subterrâneos para captação de água pluvial em um centro logístico, um engenheiro precisa determinar o volume exato do espaço disponível para escavação. O espaço possui a forma de um paralelepípedo irregular, definido pelas direções e comprimentos de três vetores, que indicam arestas adjacentes de um vértice do paralelepípedo. Os vetores, dados em metros, são: u=(4,2,1), v=(-1,3,0) e w=(2,-1,5). Calcule o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores. Utilize o produto misto

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SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO PROFESSOR EUGÊNIO CARLOS STIELER TANGARÁ DA SERRA - CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
entre vetores para resolver o problema. O valor obtido representa o volume útil de escavação (em metros cúbicos) necessário para a instalação do tanque

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(4,2,1), v=(-1,3,0) e w=(2,-1,5). O conteúdo envolvido é o produto misto de vetores, que expressa o volume como o valor absoluto do produto escalar entre um vetor e o produto vetorial dos outros dois. Para resolver, vamos primeiro calcular utimesv e depois o escalar com w.

Passo 2

Para achar utimesv usamos a definição de determinante 3times 3:
utimesv = i & j & k 4 & 2 & 1 -1 & 3 & 0 =l(2cdot0-1cdot3,;-,(4cdot0-1cdot(-1)),;4cdot3-2cdot(-1)r) =(-3,,-1,,14)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de utimesv=(-3,-1,14) com w=(2,-1,5):
(utimesv)cdotw =(-3)cdot2+(-1)cdot(-1)+14cdot5 =-6+1+70 =65

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse resultado, pois volume é sempre positivo:
V = l|(utimesv)cdotwr| = |65| = 65

Resposta

O volume do paralelepípedo é 65 metros cúbicos.

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