Um projeto de expansão de metrô tem um trajeto de 15 km que será dividido em quatro partes iguais no desenho técnico. Qual será o comprimento de cada parte em uma planta na escala 1:5.000?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Comprimento real do trajeto: \,15\\ \text{km}.
  • O trajeto será dividido em quatro partes iguais no desenho técnico (na planta).
  • Escala da planta: \,1:5000.
Pergunta: qual será o comprimento de cada uma dessas quatro partes na planta (ou seja, no desenho à escala)?

Passo 2

Entendendo a escala (aula rápida e tranquila): uma escala escrita como \,1:5000 significa que uma unidade de comprimento no desenho representa 5000 da mesma unidade no real. Exemplos práticos:
  • 1\\ \text{cm} no desenho corresponde a 5000\\ \text{cm} na realidade.
  • 1\\ \text{m} no desenho corresponde a 5000\\ \text{m} na realidade.
Regra prática que usaremos: para achar o comprimento no desenho, dividimos o comprimento real pelo número da escala:
\text{comprimento no desenho}=\frac{\text{comprimento real}}{5000}.
Importante: usar sempre a mesma unidade para real e desenho antes de aplicar a divisão.

Passo 3

Converter o comprimento real para uma unidade conveniente. Vou usar metros (é simples e evita muitos zeros):
15\\ \text{km}=15000\\ \text{m}.
Também podemos pensar em centímetros se preferir (só para confirmar):
15\\ \text{km}=1500000\\ \text{cm}.

Passo 4

Aplicar a escala para obter o comprimento total do trajeto na planta. Usando metros:
\text{comprimento na planta}=\frac{15000\\ \text{m}}{5000}=3\\ \text{m}.
Observação em centímetros (mesma conta, só que com outra unidade):
\frac{1500000\\ \text{cm}}{5000}=300\\ \text{cm},
e de fato 3\\ \text{m}=300\\ \text{cm}. Tudo coerente.

Passo 5

Agora dividir esse comprimento na planta em quatro partes iguais (pois o enunciado pede quatro partes iguais):
\text{comprimento de cada parte}=\frac{3\\ \text{m}}{4}=0,75\\ \text{m}.
Converter para outras unidades mais usadas em desenho:
0,75\\ \text{m}=75\\ \text{cm}=750\\ \text{mm}.

Passo 6

Checagem rápida (sanity check) para não errar na prova: multiplico a parte pelo número de partes e verifico se volta ao total na planta:
4\times 0,75\\ \text{m}=3\\ \text{m},
que é exatamente o comprimento total na planta calculado antes. Está consistente.

Resposta

0,75\\ \text{m}=75\\ \text{cm}

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