Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{(4)}+y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(4)}+y=0
e pede a solução geral (ou seja, todas as soluções da equação). As informações relevantes que temos são: é uma equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes; o termo independente é +y. Não há condições iniciais fornecidas, então devemos apresentar a solução geral com quatro constantes arbitrárias.

Passo 2

Transformamos o problema em uma equação algébrica (o chamado polinômio característico). Para equações lineares com coeficientes constantes assumimos uma solução exponencial y=e^{rx}. Substituindo em y^{(4)}+y=0 obtemos o polinômio característico
r^{4}+1=0.
Explicar: aqui r é a incógnita do polinômio; raízes r correspondem a expoentes nas soluções e^{rx}.

Passo 3

Vamos resolver r^{4}+1=0. Uma forma prática é fatorar o polinômio em quadráticos com coeficientes reais. Procuramos números a e b tais que
r^{4}+1=(r^{2}+ar+1)(r^{2}+br+1).
Expandindo o produto temos
r^{4}+(a+b)r^{3}+(ab+2)r^{2}+(a+b)r+1.
Comparando com r^{4}+0\cdot r^{3}+0\cdot r^{2}+0\cdot r+1 obtemos o sistema
a+b=0,\qquad ab+2=0.
Da primeira equação b=-a. Substituindo na segunda dá -a^{2}+2=0, logo a^{2}=2 e a=\pm\sqrt{2}. Portanto a fatoração é
r^{4}+1=(r^{2}+\sqrt{2}\,r+1)(r^{2}-\sqrt{2}\,r+1).

Passo 4

Agora resolvemos cada quadrática. Para r^{2}+\sqrt{2}\,r+1=0 usamos a fórmula quadrática:
r=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2} =\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{2-4}}{2} =\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{-2}}{2}.
Escrevendo \sqrt{-2}=i\sqrt{2} (onde i=\sqrt{-1}) obtemos
r=\frac{-\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\pm i\frac{1}{\sqrt{2}}.
Para a outra quadrática r^{2}-\sqrt{2}\,r+1=0 fazemos o mesmo:
r=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}-4}}{2} =\frac{\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2} =\frac{1}{\sqrt{2}}\pm i\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Organizando, as quatro raízes complexas são
r_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad r_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}},
r_{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad r_{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}.
Note que vêm em pares de complexos conjugados, como é esperado para coeficientes reais.

Passo 6

Agora transformamos cada par conjugado em funções reais usando a identidade (obtida de Euler) que, para raízes r=\alpha\pm i\beta, gera as soluções reais lineares independentes
e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui, para o primeiro par \alpha=\tfrac{1}{\sqrt{2}} e \beta=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Para o segundo par \alpha=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} e \beta=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 7

Portanto a solução geral é combinação linear das quatro funções independentes correspondentes:
y(x)=e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}\big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)\big) +e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}}\big(C_{3}\cos\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)+C_{4}\sin\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)\big),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias (essas quatro constantes aparecem porque a equação é de quarta ordem).

Resposta

y(x)=e^{\frac{x}{\sqrt{2}}}\big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)\big) +e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}}\big(C_{3}\cos\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)+C_{4}\sin\!\big(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\big)\big)

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