Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral (ou seja, todas as soluções da equação). As informações relevantes que temos são: é uma equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes; o termo independente é
. Não há condições iniciais fornecidas, então devemos apresentar a solução geral com quatro constantes arbitrárias.
Passo 2
Transformamos o problema em uma equação algébrica (o chamado polinômio característico). Para equações lineares com coeficientes constantes assumimos uma solução exponencial
. Substituindo em
obtemos o polinômio característico
Explicar: aqui
é a incógnita do polinômio; raízes
correspondem a expoentes nas soluções
.
Passo 3
Vamos resolver
. Uma forma prática é fatorar o polinômio em quadráticos com coeficientes reais. Procuramos números
e
tais que
Expandindo o produto temos
Comparando com
obtemos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda dá
, logo
e
. Portanto a fatoração é
Passo 4
Agora resolvemos cada quadrática. Para
usamos a fórmula quadrática:
Escrevendo
(onde
) obtemos
Para a outra quadrática
fazemos o mesmo:
Passo 5
Organizando, as quatro raízes complexas são
Note que vêm em pares de complexos conjugados, como é esperado para coeficientes reais.
Passo 6
Agora transformamos cada par conjugado em funções reais usando a identidade (obtida de Euler) que, para raízes
, gera as soluções reais lineares independentes
Aqui, para o primeiro par
e
. Para o segundo par
e
.
Passo 7
Portanto a solução geral é combinação linear das quatro funções independentes correspondentes:
onde
são constantes arbitrárias (essas quatro constantes aparecem porque a equação é de quarta ordem).