Um dos projetos criados por alunos de engenharia consiste numa espira de fio flexível em forma de círculo cujo raio cresce lineamente com o tempo. É estabelecido um campo magnético perpendicular do plano da espira que é inversamente proporcional à distância ao centro da espira, ou seja
. Marque a expressão que mostra como a fem
varia com o tempo.
Passo 1
Beleza, o problema diz o seguinte: temos uma espira circular de raio
que cresce de forma linear com o tempo (ou seja,
, onde
é uma velocidade de “aumento” do raio). Em cima dessa espira existe um campo magnético perpendicular ao plano dela, mas esse campo não é uniforme: vale
onde
é a distância ao centro da espira.
O que pedem é descobrir como a fem induzida varia com o tempo.
O que pedem é descobrir como a fem induzida
Conteúdo da matéria:
- Lei de Faraday da indução eletromagnética (fluxo magnético e derivada temporal).
- Cálculo de fluxo usando integração em coordenadas polares.
- Derivada de função composta (cadeia).
O que vamos precisar:
- Expressar o fluxo magnético
pela integral . - Usar
(com constante de proporcionalidade). - Usar Lei de Faraday
. - Levar em conta que
.
Passo 2
Primeiro a gente monta o fluxo magnético atravessando a espira. O fluxo é
Em coordenadas polares, um “anelzinho” de raio
e largura
tem área
Como
, o produto vira
Repara que o
do denominador cancela com o do
, facilitando muito a conta.
Passo 3
Agora a gente integra de
até
:
Ou seja, o fluxo cresce exatamente na mesma proporção que o raio da espira.
Passo 4
Pela Lei de Faraday, a fem induzida é
Mas o enunciado diz que o raio cresce de forma linear:
. Logo
Substituindo:
Resposta
ou seja, a fem é constante no tempo (em módulo
).