Um dos projetos criados por alunos de engenharia consiste numa espira de fio flexível em forma de círculo cujo raio cresce lineamente com o tempo. É estabelecido um campo magnético perpendicular do plano da espira que é inversamente proporcional à distância ao centro da espira, ou seja B(r) propto 1r. Marque a expressão que mostra como a fem varepsilon varia com o tempo.

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: temos uma espira circular de raio B(r)propto 1r que cresce de forma linear com o tempo (ou seja, , onde é uma velocidade de “aumento” do raio). Em cima dessa espira existe um campo magnético perpendicular ao plano dela, mas esse campo não é uniforme: vale
onde é a distância ao centro da espira.
O que pedem é descobrir como a fem induzida varia com o tempo.
Conteúdo da matéria:
  • Lei de Faraday da indução eletromagnética (fluxo magnético e derivada temporal).
  • Cálculo de fluxo usando integração em coordenadas polares.
  • Derivada de função composta (cadeia).
O que vamos precisar:
  1. Expressar o fluxo magnético pela integral .
  2. Usar (com constante de proporcionalidade).
  3. Usar Lei de Faraday .
  4. Levar em conta que .

Passo 2

Primeiro a gente monta o fluxo magnético atravessando a espira. O fluxo é
Phi(t)=integral duplaespira B(r),dA
Em coordenadas polares, um “anelzinho” de raio dA = 2pi,r,dr e largura B(r),dA = krtimes(2pi,r,dr) = 2pi k,dr tem área
Como , o produto vira
Repara que o do denominador cancela com o do , facilitando muito a conta.

Passo 3

Agora a gente integra de Phi(t) = integral0^R(t) 2pi k,dr = 2pi k l[rr]0^R(t) = 2pi k,R(t) até :
Ou seja, o fluxo cresce exatamente na mesma proporção que o raio da espira.

Passo 4

Pela Lei de Faraday, a fem induzida é
varepsilon(t) ;=; -,dPhidt ;=; -,ddtl(2pi k,R(t)r) ;=; -,2pi k,dRdt
Mas o enunciado diz que o raio cresce de forma linear: dRdt = v (constante) . Logo
varepsilon(t) = -,2pi k,v
Substituindo:

Resposta

boxedvarepsilon(t) = -,2pi k,v,
ou seja, a fem é constante no tempo (em módulo ).

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