Projetou-se uma coluna de destilação para separar uma mistura ( 30000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} ) benzeno-tolueno com 60 (em peso) de tolueno. A separação é para produzir um produto de topo com 97 \% (em peso) de benzeno (peso molecular igual a 78 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} - \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6} ) e um produto de fundo com 98 % (em peso) de tolueno (peso molecular igual a 92 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}-\mathrm{C}_{7} \mathrm{H}_{8} ). A operação é realizada com uma razão de refluxo de 3,5 \mathrm{~mol} para 1,0 \mathrm{~mol} de produto de topo. Respectivamente, 7360 e 7960 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}, são os calores molares latentes do benzeno e tolueno. Uma mistura ideal com volatilidade relativa média de 2,5 é formada com benzeno e tolueno. A temperatura do ponto de bolha da mistura na alimentação é de 95^{\circ} \mathrm{C} a pressão de 1,0 \mathrm{~atm} (abs). Calcule as taxas molares dos produtos de topo e fundo da coluna.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as taxas molares dos produtos de topo (destilado) e de fundo (resíduo) da coluna. Dados fornecidos (vou listar com unidades e valores exatamente como no enunciado):
  • Vazão mássica da alimentação: \;30000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
  • Composição da alimentação: 60\% em massa de tolueno \Rightarrow 40\% em massa de benzeno.
  • Produto de topo: 97\% em massa de benzeno (logo 3\% em massa de tolueno).
  • Produto de fundo: 98\% em massa de tolueno (logo 2\% em massa de benzeno).
  • Pesos moleculares: benzeno \mathrm{C_6H_6} \;M_B=78\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}; tolueno \mathrm{C_7H_8} \;M_T=92\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}.
  • Outras informações fornecidas (razão de refluxo, calores latentes, volatilidade média, ponto de bolha) estão no enunciado, mas a pergunta explicitamente é apenas sobre as taxas molares dos produtos — portanto vamos verificar se precisamos desses dados. (Não faço nada ainda; só listei os dados.)
Pergunta a responder:
  • Calcular as taxas molares do produto de topo D e do produto de fundo B (unidade \mathrm{mol}/\mathrm{h}).

Passo 2

Transformar a alimentação (massa) em moles e obter a composição molar da alimentação.
  • Massa de benzeno na alimentação:
\text{massa}_{B} = 0{,}40\times 30000\\ \mathrm{kg} = 12000\\ \mathrm{kg} = 12\,000\,000\\ \mathrm{g}.
  • Massa de tolueno na alimentação:
\text{massa}_{T} = 0{,}60\times 30000\\ \mathrm{kg} = 18000\\ \mathrm{kg} = 18\,000\,000\\ \mathrm{g}.
  • Moles de benzeno na alimentação:
n_{B,F} = \frac{12\,000\,000\\ \mathrm{g}}{78\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}} = 153\,846{,}153846\\ \mathrm{mol}.
  • Moles de tolueno na alimentação:
n_{T,F} = \frac{18\,000\,000\\ \mathrm{g}}{92\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}} = 195\,652{,}173913\\ \mathrm{mol}.
  • Vazão molar total da alimentação:
F = n_{B,F}+n_{T,F} = 349\,498{,}327759\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}.
  • Fração molar de benzeno na alimentação (denoto por \;z):
z = \frac{n_{B,F}}{F} = \frac{153\,846{,}153846}{349\,498{,}327759} \approx 0{,}4401913876.
(obs.: todos os números acima mantidos com precisão para evitar arredondamentos prematuros.)

Passo 3

Converter as especificações de produtos dadas em frações molares (as composições do produto foram dadas em massa — precisamos das frações molares para o balanço de espécies).
Fórmula geral para converter fração em massa w_i em fração molar x_i (num misto binário):
x_i=\frac{\dfrac{w_i}{M_i}}{\dfrac{w_1}{M_1}+\dfrac{w_2}{M_2}},
onde M_i é o peso molecular da espécie i.
  • Produto de topo (destilado): w_{B,D}=0{,}97, w_{T,D}=0{,}03.
\text{moles por grama (B)}=\frac{0{,}97}{78}=0{,}0124358974359,
\text{moles por grama (T)}=\frac{0{,}03}{92}=0{,}0003260869565,
y\;(\text{fração molar de benzeno no destilado})=\frac{0{,}0124358974359}{0{,}0124358974359+0{,}0003260869565}=0{,}9744048150.çã
  • Produto de fundo (resíduo): w_{B,Btm}=0{,}02, w_{T,Btm}=0{,}98.
\text{moles por grama (B)}=\frac{0{,}02}{78}=0{,}0002564102564,
\text{moles por grama (T)}=\frac{0{,}98}{92}=0{,}0106521739130,
x\;(\text{fração molar de benzeno no fundo})=\frac{0{,}0002564102564}{0{,}0002564102564+0{,}0106521739130}=0{,}0235130520.çã
Resumo numérico:
y \approx 0{,}9744048150\quad\text{(benzeno no destilado, molar)}
x \approx 0{,}0235130520\quad\text{(benzeno no fundo, molar)}

Passo 4

Escrever os balanços de matéria relevantes e deduzir as equações que permitem calcular D e B.
  • Balanço molar total (estado estacionário, sem acumulação):
F = D + B.
  • Balanço de benzeno (composição em molar):
F z = D y + B x.
Substituindo B = F - D no balanço de benzeno:
F z = D y + (F-D) x = D(y-x) + F x.
Isolando D:
D(y-x) = F(z-x) \quad\Rightarrow\quad D = \frac{F(z-x)}{y-x}.
E então B obtém-se por:
B = F - D.
Comentário pedagógico: essas duas equações (balanço total e balanço de componente) são suficientes para um sistema binário em regime estacionário. Note que dados como refluxo, calores latentes, volatilidade média ou temperatura de bolha não entram nesses balanços de espécie — eles são necessários se quiséssemos calcular número de pratos, energia ou dimensionamento do condensador/evaporador, mas não para as vazões molares dos produtos.

Passo 5

Aplicar as fórmulas com os valores numéricos calculados.
Usando F=349\,498{,}327759\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}, z=0{,}4401913876, y=0{,}9744048150, x=0{,}0235130520:
Calcular D:
D = \frac{F(z-x)}{y-x} = \frac{349\,498{,}327759\,(0{,}4401913876-0{,}0235130520)}{0{,}9744048150-0{,}0235130520}.
Primeiro, as diferenças:
z-x = 0{,}4166783356,
y-x = 0{,}9508917630.
Então a razão:
\frac{z-x}{y-x} = \frac{0{,}4166783356}{0{,}9508917630} \approx 0{,}4381974743.
Portanto
D = 349\,498{,}327759\times 0{,}4381974743 \approx 153\,149{,}2935\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}.
Calcular B:
B = F - D = 349\,498{,}327759 - 153\,149{,}293478 \approx 196\,349{,}0343\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}.

Passo 6

Verificação rápida do balanço de benzeno (checar contas):
D y + B x \approx 153\,149{,}2935\times 0{,}9744048150 + 196\,349{,}0343\times 0{,}0235130520 \approx 153\,846{,}1538\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h},
que coincide (dentro de arredondamento) com n_{B,F}=153\,846{,}153846\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}. Balanço verificado.
Comentário final de incentivo: pronto — conseguimos chegar nas vazões molares com balanços simples; dá para fazer isso na prova sem usar os dados de energia. Se quiser, eu mostro em seguida como converter essas vazões para massa (kg/h) ou como usar o refluxo/ calores para estimar o dever do condensador/evaporador — isso seria o próximo passo de energia e dimensionamento.

Resposta

D = 153\,149{,}3\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
B = 196\,349{,}0\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}

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