Uma coluna de destilação é alimentada ( 2000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} ) por uma corrente de uma mistura binária (tolueno-benzeno), contendo 60% (em massa) de tolueno. Considerando que 10 \% do benzeno deixa a coluna na corrente de fundo e que a corrente do topo contém 90 \% de benzeno, determine.
(a) vazão mássica da corrente de destilado;
(b) a taxa mássica de produto de fundo;
(c) a quantidade (massa) de benzeno no destilado;
(d) a quantidade (massa) de tolueno no fundo;
(e) a composição da corrente de fundo.
(f) o número mínimo de pratos teóricos considerando que a mistura alimentada é de líquido saturado e a relação de equilíbrio é dada por:
y=\frac{2 \cdot x}{1+x}

Passo 1

O enunciado dá uma coluna de destilação alimentada por uma corrente binária tolueno–benzeno com vazão de 2000\\ \mathrm{kg/h} e composição em massa: 60\% tolueno (logo 40\% benzeno). São fornecidas mais duas informações sobre onde os componentes saem da coluna:
  • 10\% do benzeno que entra na coluna sai no produto de fundo (isto é, 10\% do total de massa de benzeno do alimentador vai para o fundo).
  • A corrente de topo (destilado) contém 90\% de benzeno (fração mássica do benzeno no destilado = 0,90).
O que se pede:
(a) vazão mássica da corrente de destilado D (em \mathrm{kg/h});
(b) vazão mássica da corrente de fundo B (em \mathrm{kg/h});
(c) massa de benzeno no destilado (em \mathrm{kg/h});
(d) massa de tolueno no fundo (em \mathrm{kg/h});
(e) composição (frações mássicas) da corrente de fundo;
(f) número mínimo de pratos teóricos (usar que a alimentação é líquido saturado e que a relação de equilíbrio é \displaystyle y=\frac{2x}{1+x}).
Informações iniciais calculadas a partir do enunciado (serão usadas nos passos seguintes):
F = 2000\\ \mathrm{kg/h},\quad w_{Tol, F}=0{,}60,\quad w_{Ben, F}=0{,}40.
Portanto as massas de cada componente na alimentação são:
\text{Tolueno em }F = 0{,}60\cdot 2000 = 1200\\ \mathrm{kg/h},
\text{Benzeno em }F = 0{,}40\cdot 2000 = 800\\ \mathrm{kg/h}.
A resolução numérica efetiva começa no Passo 2.

Passo 2

Calcular a massa de benzeno que vai para o fundo e para o destilado a partir da informação “10% do benzeno sai no fundo”.
  • Benzeno no fundo:
\text{Ben}_{B} = 0{,}10\cdot 800 = 80\\ \mathrm{kg/h}.
  • Benzeno no destilado:
\text{Ben}_{D} = 800 - 80 = 720\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação (didática): estamos aplicando um balanço de componente benzeno. A massa de benzeno que entra (800) é igual à soma das massas de benzeno nos dois produtos; o enunciado diz que 10\% vai para o fundo, então o restante ( 90\%) fica no destilado. Isso nos dá os números acima.

Passo 3

A partir da fração mássica de benzeno no destilado ( w_{Ben,D}=0{,}90) calculamos a vazão mássica do destilado D.
  • Relação entre massa de benzeno em D e a massa total D:
w_{Ben,D}=\frac{\text{Ben}_{D}}{D}.
Substituindo \text{Ben}_{D}=720\\ \mathrm{kg/h} e w_{Ben,D}=0{,}90:
0{,}90=\frac{720}{D}\quad\Rightarrow\quad D=\frac{720}{0{,}90}=800\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação: é uma simples definição de fração mássica: fração = (massa do componente)/(massa total da corrente).

Passo 4

Agora obtemos a vazão de fundo B pelo balanço de massa total (estado estacionário):
F = D + B \quad\Rightarrow\quad B = F - D = 2000 - 800 = 1200\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

Encontrar a massa de tolueno no fundo e no destilado usando balanços de tolueno.
  • Tolueno total na alimentação: 1200\\ \mathrm{kg/h} (calculado no Passo 1). Sabemos que no destilado temos:
\text{Tol}_{D} = D - \text{Ben}_{D} = 800 - 720 = 80\\ \mathrm{kg/h}.
(ou simplesmente 1200 - \text{Tol}_{B} = \text{Tol}_{D}; aqui calculamos \text{Tol}_D a partir das massas totais no destilado.)
  • Logo, tolueno no fundo:
\text{Tol}_{B} = 1200 - 80 = 1120\\ \mathrm{kg/h}.
Verificação rápida: no fundo B=1200 e \text{Ben}_{B}=80 então \text{Tol}_B = 1200-80=1120, consistente.

Passo 6

Calcular as composições (frações mássicas) da corrente de fundo.
  • Fração mássica de benzeno no fundo:
w_{Ben,B}=\frac{\text{Ben}_{B}}{B}=\frac{80}{1200}=0{,}066666\ldots \; (=6{,}666\%\\ \text{em massa}).
  • Fração mássica de tolueno no fundo:
w_{Tol,B}=\frac{\text{Tol}_{B}}{B}=\frac{1120}{1200}=0{,}933333\ldots \; (=93{,}333\%\\ \text{em massa}).
Explicação: soma das frações = 1, e usamos definição de fração mássica.

Passo 7

Preparação para o cálculo do número mínimo de pratos teóricos: precisamos das frações molares (não das frações mássicas) porque a relação de equilíbrio y=\dfrac{2x}{1+x} é escrita em termos de frações molares ( x = fração molar do componente mais volátil no líquido; y = fração molar no vapor). Também a fórmula de Fenske usa frações molares.
Vamos converter as composições de massa de cada corrente (destilado e fundo) em mols por hora, usando massas molares aproximadas:
M_{\text{Ben}}=78{,}11\\ \mathrm{kg/kmol},\qquad M_{\text{Tol}}=92{,}14\\ \mathrm{kg/kmol}.
(Comentário didático: M em \mathrm{kg/kmol} é igual à massa molar em g/mol dividida por 1000; é comum usar \mathrm{kg/kmol} para trabalhar com massas em kg e mols em kmol.)
Calcular moles em cada corrente:
  • No destilado:
n_{\text{Ben},D}=\frac{720}{78{,}11}=9{,}222\\ \mathrm{kmol/h},
n_{\text{Tol},D}=\frac{80}{92{,}14}=0{,}869\\ \mathrm{kmol/h}.
Total de mols no destilado:
n_{D}=9{,}222+0{,}869=10{,}091\\ \mathrm{kmol/h}.
Frações molares (benzeno mais volátil) no destilado:
x_{D}=\frac{n_{\text{Ben},D}}{n_{D}}=\frac{9{,}222}{10{,}091}\approx 0{,}9139.
  • No fundo:
n_{\text{Ben},B}=\frac{80}{78{,}11}=1{,}025\\ \mathrm{kmol/h},
n_{\text{Tol},B}=\frac{1120}{92{,}14}=12{,}150\\ \mathrm{kmol/h}.
Total de mols no fundo:
n_{B}=1{,}025+12{,}150=13{,}175\\ \mathrm{kmol/h}.
Frações molares de benzeno no fundo:
x_{B}=\frac{1{,}025}{13{,}175}\approx 0{,}0778.
Explicação didática: convertendo massa em mols usamos n=\dfrac{\text{massa}}{M}. Fração molar é x_i = n_i/\sum n_j.

Passo 8

Identificar que a equação de equilíbrio dada
y=\frac{2x}{1+x}
é da forma que corresponde a uma volatilidade relativa constante \alpha. Para uma volatilidade relativa constante \alpha a equação de equilíbrio (para mistura ideal) pode ser escrita como
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
Comparando com a dada, vemos que \alpha=2 (isto é, volatilidade relativa do benzeno em relação ao tolueno é 2, constante).
Explicação didática: a volatilidade relativa \alpha é a razão das volatilidades (ou das constantes de equilíbrio) entre o componente mais volátil (benz.) e o menos volátil (tol.). Se \alpha>1, o componente no numerador é mais volátil.

Passo 9

Aplicar a equação de Fenske para o número mínimo de pratos teóricos N_{\min} (condição de refluxo total / refluxo infinito). A fórmula de Fenske para uma coluna binária é:
N_{\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_{D}/(1-x_{D})}{x_{B}/(1-x_{B})}\right)}{\ln(\alpha)}.
Aqui x_{D} e x_{B} são as frações molares do componente mais volátil (benz.) no líquido do topo e do fundo, respectivamente. Já encontramos x_{D}\approx 0{,}9139 e x_{B}\approx 0{,}0778; e \alpha=2.
Calcule os termos:
\frac{x_{D}}{1-x_{D}}=\frac{0{,}9139}{0{,}0861}\approx 10{,}62,
\frac{x_{B}}{1-x_{B}}=\frac{0{,}0778}{0{,}9222}\approx 0{,}0844,
\text{razão}=\frac{10{,}62}{0{,}0844}\approx 125{,}9.ã
Agora:
N_{\min}=\frac{\ln(125{,}9)}{\ln(2)}\approx\frac{4{,}834}{0{,}6931}\approx 6{,}97.
Interpretação prática: isso dá N_{\min}\approx 6{,}97 pratos teóricos. Como o número de pratos deve ser inteiro, convém arredondar para cima quando for projetar a coluna — portanto precisaríamos de pelo menos 7 pratos teóricos sob condição de refluxo total (Fenske dá o mínimo no caso de refluxo total). (Observação didática: Fenske conta o número de pratos teóricos necessários sob refluxo total para alcançar a separação desejada; na prática com refluxo finito serão necessários mais pratos ou maior refluxo.)

Resposta

(a) D=800\\ \mathrm{kg/h}
(b) B=1200\\ \mathrm{kg/h}
(c) Massa de benzeno no destilado =720\\ \mathrm{kg/h}
(d) Massa de tolueno no fundo =1120\\ \mathrm{kg/h}
(e) Composição do fundo (frações mássicas): benzeno w_{Ben,B}=0{,}066666\ldots (ou 6{,}666\%), tolueno w_{Tol,B}=0{,}933333\ldots (ou 93{,}333\%)
(f) Número mínimo de pratos teóricos N_{\min}\approx 6{,}97, portanto pelo menos 7 pratos teóricos.

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