Um instrumento de avaliação tem 4 questões. Um aluno, para ser aprovado, precisa acertar pelo menos 3 questões. Sabendo que a probabilidade de ele acertar cada questão é de 95%, e que as questões são independentes, qual a probabilidade de que ele tire a nota máxima nessa prova?
(A) 70,67 \%
(B) 82,5 \%
(C) 93,65 \%
(D) 99,67 \%

Passo 1

  • Dados fornecidos:
    • Número de questões: 4.
    • Probabilidade de acertar cada questão: p=0{,}95.
    • As questões são independentes.
    • Regra de aprovação (informação extra no enunciado): aprovado se acertar pelo menos 3 questões.
  • O que o enunciado pergunta:
    • “Qual a probabilidade de que ele tire a nota máxima nessa prova?”
  • Observação importante (apenas para clarificar o pedido): a expressão “nota máxima” normalmente significa acertar todas as questões (ou seja, acertar 4 de 4). Como o enunciado também menciona a condição de aprovação (pelo menos 3), ao longo da resolução vou:
    1. Calcular a probabilidade de tirar a nota máxima (acertar as 4 questões).
    2. Calcular, por comparação, a probabilidade de ser aprovado (acertar pelo menos 3 questões).
      (Não se pede decisión aqui; só listei o que será calculado para evitar ambiguidade.)

Passo 2

  • Modelo probabilístico que usamos (explicação didática):
    • Cada questão é um ensaio de Bernoulli: tem dois resultados possíveis — “acerta” com probabilidade p ou “erra” com probabilidade 1-p. Aqui p=0{,}95.
    • Como as questões são independentes e há n=4 ensaios, o número de acertos X segue uma distribuição binomial: X\sim\mathrm{Bin}(n,p) com n=4 e p=0{,}95.
    • Fórmula da probabilidade de exatamente k acertos: P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de formas de escolher k acertos entre n questões).
    • Fórmula do coeficiente binomial (explicação): \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},onde n! significa n fatorial ( n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1). Por exemplo, \binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4 e \binom{4}{4}=1.
    • Vamos aplicar essas fórmulas para os casos que nos interessam.

Passo 3

  • Probabilidade de tirar a nota máxima (acertar todas as 4 questões), isto é P(X=4).
  • Usando a fórmula com n=4, k=4, p=0{,}95: P(X=4)=\binom{4}{4}\,p^{4}\,(1-p)^{0}=1\cdot(0{,}95)^{4}.
  • Calculemos passo a passo (0{,}95)^{4}: (0{,}95)^{2}=0{,}9025,
(0{,}95)^{3}=0{,}9025\times0{,}95=0{,}857375,
(0{,}95)^{4}=0{,}857375\times0{,}95=0{,}81450625.
  • Interpretando em porcentagem: P(X=4)=0{,}81450625=81{,}450625\%.Então a probabilidade de tirar a nota máxima (acertar as 4) é aproximadamente 81{,}45\%.

Passo 4

  • Para comparação (porque o enunciado mencionou aprovação com pelo menos 3 acertos), calculamos também P(X\ge3) — probabilidade de ser aprovado.
  • Temos P(X\ge3)=P(X=3)+P(X=4).
  • Calcule P(X=3) com k=3: P(X=3)=\binom{4}{3}\,p^{3}\,(1-p)^{1}=4\cdot(0{,}95)^{3}\cdot(0{,}05).Já temos (0{,}95)^{3}=0{,}857375, logo P(X=3)=4\cdot0{,}857375\cdot0{,}05}=4\cdot0{,}04286875=0{,}171475.
  • Somando com P(X=4)=0{,}81450625: P(X\ge3)=0{,}171475+0{,}81450625=0{,}98598125.
  • Em porcentagem: P(X\ge3)=98{,}598125\%\approx98{,}60\%.Então a probabilidade de ser aprovado (acertar pelo menos 3) é aproximadamente 98{,}60\%.

Passo 5

  • Conclusão sobre as alternativas dadas:
    • Probabilidade correta de “nota máxima” (todas as 4 corretas): 81{,}450625\% (aprox. 81{,}45\%).
    • Probabilidade de ser aprovado (pelo menos 3 corretas): 98{,}598125\% (aprox. 98{,}60\%).
  • Observando as alternativas propostas:
    • (A) 70{,}67\%
    • (B) 82{,}5\%
    • (C) 93{,}65\%
    • (D) 99{,}67\%
  • Nenhuma das alternativas coincide exatamente com a probabilidade correta de tirar a nota máxima ( 81{,}450625\%). A alternativa mais próxima é (B) 82{,}5\%, mas ela não é igual ao valor correto. Portanto, nenhuma alternativa apresenta o valor exato.

Resposta

81{,}450625\%

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