Um instrumento de avaliação tem 4 questões. Um aluno, para ser aprovado, precisa acertar pelo menos 3 questões. Sabendo que a probabilidade de ele acertar cada questão é de 95%, e que as questões são independentes, qual a probabilidade de que ele tire a nota máxima nessa prova?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
- Dados fornecidos:
- Número de questões:
. - Probabilidade de acertar cada questão:
. - As questões são independentes.
- Regra de aprovação (informação extra no enunciado): aprovado se acertar pelo menos
questões.
- Número de questões:
- O que o enunciado pergunta:
- “Qual a probabilidade de que ele tire a nota máxima nessa prova?”
- Observação importante (apenas para clarificar o pedido): a expressão “nota máxima” normalmente significa acertar todas as questões (ou seja, acertar
de ). Como o enunciado também menciona a condição de aprovação (pelo menos ), ao longo da resolução vou: - Calcular a probabilidade de tirar a nota máxima (acertar as
questões). - Calcular, por comparação, a probabilidade de ser aprovado (acertar pelo menos
questões).
(Não se pede decisión aqui; só listei o que será calculado para evitar ambiguidade.)
- Calcular a probabilidade de tirar a nota máxima (acertar as
Passo 2
- Modelo probabilístico que usamos (explicação didática):
- Cada questão é um ensaio de Bernoulli: tem dois resultados possíveis — “acerta” com probabilidade
ou “erra” com probabilidade . Aqui . - Como as questões são independentes e há
ensaios, o número de acertos segue uma distribuição binomial: com e . - Fórmula da probabilidade de exatamente
acertos: onde é o coeficiente binomial (número de formas de escolher acertos entre questões). - Fórmula do coeficiente binomial (explicação):
onde significa fatorial ( ). Por exemplo, e . - Vamos aplicar essas fórmulas para os casos que nos interessam.
- Cada questão é um ensaio de Bernoulli: tem dois resultados possíveis — “acerta” com probabilidade
Passo 3
- Probabilidade de tirar a nota máxima (acertar todas as
questões), isto é . - Usando a fórmula com
, , : - Calculemos passo a passo
:
- Interpretando em porcentagem:
Então a probabilidade de tirar a nota máxima (acertar as 4) é aproximadamente .
Passo 4
- Para comparação (porque o enunciado mencionou aprovação com pelo menos
acertos), calculamos também — probabilidade de ser aprovado. - Temos
- Calcule
com : Já temos , logo - Somando com
: - Em porcentagem:
Então a probabilidade de ser aprovado (acertar pelo menos 3) é aproximadamente .
Passo 5
- Conclusão sobre as alternativas dadas:
- Probabilidade correta de “nota máxima” (todas as
corretas): (aprox. ). - Probabilidade de ser aprovado (pelo menos
corretas): (aprox. ).
- Probabilidade correta de “nota máxima” (todas as
- Observando as alternativas propostas:
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (A)
- Nenhuma das alternativas coincide exatamente com a probabilidade correta de tirar a nota máxima (
). A alternativa mais próxima é (B) , mas ela não é igual ao valor correto. Portanto, nenhuma alternativa apresenta o valor exato.