A propagação do som em um gás envolve variações rápidas de pressão e densidade, ocorrendo de forma aproximadamente adiabática. Para um gás ideal, a correção adiabática proposta por Laplace leva em conta o índice adiabático \gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}, onde C_{p} e { }^{C_{v}} são, respectivamente, os calores específicos a pressão e volume constantes.
Considerando essas hipóteses, assinale a expressão CORRETA para a velocidade de propagação do som em um gás ideal.
a) v=\sqrt{\frac{R T}{M}}
b) v=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}
c) v=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}
d) v=\sqrt{\frac{P}{\rho}}

Passo 1

O enunciado pede para escolher a expressão CORRETA para a velocidade de propagação do som em um gás ideal, usando a hipótese de propagação adiabática. As informações relevantes fornecidas são:
  • O índice adiabático é \gamma=\dfrac{c_{p}}{c_{v}}.
  • Constantes e variáveis que aparecem nas alternativas:
    • R: constante universal dos gases.
    • T: temperatura absoluta.
    • M: massa molar do gás.
    • P: pressão.
    • \rho: densidade.
  • As alternativas dadas são:
    a) v=\sqrt{\dfrac{R T}{M}}
    b) v=\sqrt{\dfrac{\gamma R T}{M}}
    c) v=\sqrt{\dfrac{3 R T}{M}}
    d) v=\sqrt{\dfrac{P}{\rho}}

Passo 2

Ideia física e fórmula geral que vamos usar. O som é uma perturbação pequena de pressão e densidade que se propaga; sua velocidade depende de quão rapidamente a pressão muda quando a densidade muda, mantendo o processo adiabático (sem troca de calor). Matematicamente essa condição dá a expressão fundamental
v^{2}=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{\!s},
onde o subíndice s indica que a derivada é tomada à entropia constante (processo adiabático reversível). Explicando: para pequenas perturbações \delta p e \delta\rho vale \delta p \approx (\partial p/\partial\rho)_{s}\,\delta\rho, e essa relação linear leva à equação de onda com velocidade v dada acima.

Passo 3

Relação adiabática entre p e \rho para gás ideal. Para um processo adiabático reversível vale a lei
p V^{\gamma}=\text{constante}.
Como a densidade é \rho=\dfrac{m}{V} (ou, por unidade de massa, V\propto 1/\rho), podemos reescrever a lei como
p\,\rho^{-\gamma}=\text{constante}\quad\Rightarrow\quad p\propto \rho^{\gamma}.
Derivando p=C\rho^{\gamma} em relação a \rho obtemos
\frac{dp}{d\rho}=\gamma C \rho^{\gamma-1}=\gamma\frac{p}{\rho}.

Passo 4

Substituindo a derivada adiabática na fórmula da velocidade temos
v^{2}=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}=\gamma\frac{p}{\rho}.
Agora usamos a equação de estado do gás ideal para relacionar p, \rho e T. A forma que usa a massa molar M é
p=\rho\,R_{\text{espec}}\,T,
onde R_{\text{espec}}=\dfrac{R}{M} é a constante dos gases por unidade de massa. Portanto
\frac{p}{\rho}=\frac{R}{M}\,T.

Passo 5

Juntando as duas expressões:
v^{2}=\gamma\frac{p}{\rho}=\gamma\frac{R}{M}\,T,
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v=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}.
Essa é exatamente a alternativa (b). Comentários rápidos sobre as outras opções: (a) seria o caso se \gamma=1 (processo isotérmico), (d) falta o fator \gamma (e, em geral, v=\sqrt{p/\rho} é incorreto para adiabático) e (c) tem um fator numérico 3 sem fundamento geral (pode lembrar um caso específico errado).

Passo 6

Observação prática e moral de prova (um empurrãozinho amigo): em provas, lembrar a identidade útil
v=\sqrt{\gamma\,\frac{p}{\rho}}=\sqrt{\gamma\frac{R}{M}T}
é suficiente. Valores típicos de \gamma: gás monoatômico \gamma=5/3, diatômico \gamma\approx7/5; o fator \sqrt{\gamma} aumenta a velocidade em relação à expressão isotérmica. Vai dar certo — foco nas relações p\propto\rho^{\gamma} e p=\rho(R/M)T!

Resposta

b) v=\sqrt{\dfrac{\gamma R T}{M}}

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