A propagação do som em um gás envolve variações rápidas de pressão e densidade, ocorrendo de forma aproximadamente adiabática. Para um gás ideal, a correção adiabática proposta por Laplace leva em conta o índice adiabático
, onde
e
são, respectivamente, os calores específicos a pressão e volume constantes.
Considerando essas hipóteses, assinale a expressão CORRETA para a velocidade de propagação do som em um gás ideal.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para escolher a expressão CORRETA para a velocidade de propagação do som em um gás ideal, usando a hipótese de propagação adiabática. As informações relevantes fornecidas são:
- O índice adiabático é
. - Constantes e variáveis que aparecem nas alternativas:
-
: constante universal dos gases. -
: temperatura absoluta. -
: massa molar do gás. -
: pressão. -
: densidade.
-
- As alternativas dadas são:
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Ideia física e fórmula geral que vamos usar. O som é uma perturbação pequena de pressão e densidade que se propaga; sua velocidade depende de quão rapidamente a pressão muda quando a densidade muda, mantendo o processo adiabático (sem troca de calor). Matematicamente essa condição dá a expressão fundamental
onde o subíndice
indica que a derivada é tomada à entropia constante (processo adiabático reversível). Explicando: para pequenas perturbações
e
vale
, e essa relação linear leva à equação de onda com velocidade
dada acima.
Passo 3
Relação adiabática entre
e
para gás ideal. Para um processo adiabático reversível vale a lei
Como a densidade é
(ou, por unidade de massa,
), podemos reescrever a lei como
Derivando
em relação a
obtemos
Passo 4
Substituindo a derivada adiabática na fórmula da velocidade temos
Agora usamos a equação de estado do gás ideal para relacionar
,
e
. A forma que usa a massa molar
é
onde
é a constante dos gases por unidade de massa. Portanto
Passo 5
Juntando as duas expressões:
logo
Essa é exatamente a alternativa (b). Comentários rápidos sobre as outras opções: (a) seria o caso se
(processo isotérmico), (d) falta o fator
(e, em geral,
é incorreto para adiabático) e (c) tem um fator numérico
sem fundamento geral (pode lembrar um caso específico errado).
Passo 6
Observação prática e moral de prova (um empurrãozinho amigo): em provas, lembrar a identidade útil
é suficiente. Valores típicos de
: gás monoatômico
, diatômico
; o fator
aumenta a velocidade em relação à expressão isotérmica. Vai dar certo — foco nas relações
e
!
Resposta
b)