Um elétron e um próton possuem a mesma energia cinética não relativística e propagam-se no vácuo. Ambos são descritos como ondas de matéria de acordo com a hipótese de De Broglie.
Considere as seguintes proposições:
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) Apenas I e III são verdadeiras.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Apenas II e IV são verdadeiras.
d) Apenas I, III e IV são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
  • Um elétron e um próton têm a mesma energia cinética não relativística (ou seja, a velocidade é bem menor que a da luz).
  • Ambos estão no vácuo e são descritos pela hipótese de De Broglie (ondas de matéria).
O enunciado pede para avaliar as proposições I, II, III e IV abaixo e indicar quais são verdadeiras:
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
Aqui estão os dados relevantes que vamos usar (valores numéricos de massa apenas para comparação, se necessário):
  • massa do elétron: \,m_e\approx 9{,}11\times10^{-31}\\ \text{kg}.
  • massa do próton: \,m_p\approx 1{,}67\times10^{-27}\\ \text{kg}.

Passo 2

Apresentar a relação de De Broglie e explicar o que cada símbolo significa.
A relação de De Broglie é
\lambda = \frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda de De Broglie da partícula;
  • h é a constante de Planck ( h é uma constante universal);
  • p é o momento linear (momentum) da partícula, ou seja, p=m v no regime não relativístico.
Comentário didático rápido: isso diz que quanto maior o momento p, menor o comprimento de onda \lambda. E vice-versa.

Passo 3

Relacionar energia cinética com momento no caso não relativístico e explicar as variáveis.
Para uma partícula clássica não relativística, a energia cinética K e o momento p estão ligados por
K=\frac{p^{2}}{2m},
onde:
  • K é a energia cinética;
  • p é o momento linear;
  • m é a massa da partícula.
Isolando p obtemos
p=\sqrt{2mK}.
Explicação: essa fórmula vem de K=\tfrac{1}{2}mv^{2} e p=mv; substituindo v=p/m em K chega-se à relação acima. Aqui todas as variáveis foram explicitadas.

Passo 4

Combinar De Broglie com a relação entre p e K para obter \lambda em função de K e m, e interpretar.
Substituindo p=\sqrt{2mK} na relação de De Broglie:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2mK}}.
Interpretação didática:
  • O comprimento de onda \lambda depende de h (constante), da massa m da partícula e da energia cinética K.
  • Logo, para uma mesma K, \lambda NÃO depende apenas de K; depende também da massa m. Isso já responde a proposição II: ela é falsa.

Passo 5

Usar a fórmula \lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2mK}} para comparar elétron e próton (proposição I).
Compare \lambda_e (elétron) e \lambda_p (próton). Para a mesma K,
\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h/\sqrt{2m_e K}}{h/\sqrt{2m_p K}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}.
Como \,m_p\gg m_e (numérica e fisicamente, m_p/m_e\approx 1836), segue que \sqrt{m_p/m_e}>1. Portanto \lambda_e/\lambda_p>1, ou seja
\lambda_e>\lambda_p.
Conclusão didática: o elétron, por ser muito mais leve, tem menor momento para a mesma energia cinética? Atenção: pelo p=\sqrt{2mK}, partículas mais pesadas têm maior p. Então próton tem maior p e, via \lambda=h/p, menor \lambda. Assim, a proposição I é verdadeira.

Passo 6

Determinar as velocidades associadas (proposição III) e comparar elétron e próton.
Para a velocidade (não relativística),
v=\sqrt{\frac{2K}{m}}.
Para a mesma energia cinética K,
\frac{v_e}{v_p} = \sqrt{\frac{2K/m_e}{2K/m_p}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}>1,
porque m_p>m_e. Logo v_e>v_p.
Interpretação simples: com a mesma energia cinética, a partícula mais leve precisa de velocidade maior para alcançar essa energia; portanto a proposição III é verdadeira.

Passo 7

Analisar a proposição IV sobre os momentos serem iguais.
Usando p=\sqrt{2mK}, para a mesma K temos
p_e=\sqrt{2m_e K},\qquad p_p=\sqrt{2m_p K}.
Como m_e\neq m_p, em geral p_e\neq p_p. Especificamente, p_p>p_e porque m_p>m_e. Portanto a proposição IV é falsa.

Passo 8

Resumo das verdades/mentiras das proposições (sem escolher a alternativa ainda):
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
  • IV é falsa.

Resposta

a) Apenas I e III são verdadeiras.

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