Um elétron e um próton possuem a mesma energia cinética não relativística e propagam-se no vácuo. Ambos são descritos como ondas de matéria de acordo com a hipótese de De Broglie.
Considere as seguintes proposições:
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) Apenas I e III são verdadeiras.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Apenas II e IV são verdadeiras.
d) Apenas I, III e IV são verdadeiras.
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
a) Apenas I e III são verdadeiras.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Apenas II e IV são verdadeiras.
d) Apenas I, III e IV são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
- Um elétron e um próton têm a mesma energia cinética não relativística (ou seja, a velocidade é bem menor que a da luz).
- Ambos estão no vácuo e são descritos pela hipótese de De Broglie (ondas de matéria).
O enunciado pede para avaliar as proposições I, II, III e IV abaixo e indicar quais são verdadeiras:
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
I. O comprimento de onda de De Broglie do elétron é maior que o do próton.
II. O comprimento de onda de De Broglie depende apenas da energia cinética da partícula.
III. A velocidade associada ao elétron é maior que a do próton.
IV. Para a mesma energia cinética, as duas partículas apresentam o mesmo momento linear.
Aqui estão os dados relevantes que vamos usar (valores numéricos de massa apenas para comparação, se necessário):
- massa do elétron:
. - massa do próton:
.
Passo 2
Apresentar a relação de De Broglie e explicar o que cada símbolo significa.
A relação de De Broglie é
onde:
-
é o comprimento de onda de De Broglie da partícula; -
é a constante de Planck ( é uma constante universal); -
é o momento linear (momentum) da partícula, ou seja, no regime não relativístico.
Comentário didático rápido: isso diz que quanto maior o momento
, menor o comprimento de onda
. E vice-versa.
Passo 3
Relacionar energia cinética com momento no caso não relativístico e explicar as variáveis.
Para uma partícula clássica não relativística, a energia cinética
e o momento
estão ligados por
onde:
-
é a energia cinética; -
é o momento linear; -
é a massa da partícula.
Isolando
obtemos
Explicação: essa fórmula vem de
e
; substituindo
em
chega-se à relação acima. Aqui todas as variáveis foram explicitadas.
Passo 4
Combinar De Broglie com a relação entre
e
para obter
em função de
e
, e interpretar.
Substituindo
na relação de De Broglie:
Interpretação didática:
- O comprimento de onda
depende de (constante), da massa da partícula e da energia cinética . - Logo, para uma mesma
, NÃO depende apenas de ; depende também da massa . Isso já responde a proposição II: ela é falsa.
Passo 5
Usar a fórmula
para comparar elétron e próton (proposição I).
Compare
(elétron) e
(próton). Para a mesma
,
Como
(numérica e fisicamente,
), segue que
. Portanto
, ou seja
Conclusão didática: o elétron, por ser muito mais leve, tem menor momento para a mesma energia cinética? Atenção: pelo
, partículas mais pesadas têm maior
. Então próton tem maior
e, via
, menor
. Assim, a proposição I é verdadeira.
Passo 6
Determinar as velocidades associadas (proposição III) e comparar elétron e próton.
Para a velocidade (não relativística),
Para a mesma energia cinética
,
porque
. Logo
.
Interpretação simples: com a mesma energia cinética, a partícula mais leve precisa de velocidade maior para alcançar essa energia; portanto a proposição III é verdadeira.
Passo 7
Analisar a proposição IV sobre os momentos serem iguais.
Usando
, para a mesma
temos
Como
, em geral
. Especificamente,
porque
. Portanto a proposição IV é falsa.
Passo 8
Resumo das verdades/mentiras das proposições (sem escolher a alternativa ainda):
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
- IV é falsa.
Resposta
a) Apenas I e III são verdadeiras.